## [Primzahlpotenz](/de/node/62945) Definition Eine positive ganze Zahl der Form p^k, wobei p eine Primzahl und k eine positive ganze Zahl (k ≥ 1) ist. ## Prinzip Prinzip Zahlen durch wiederholte Multiplikation eines einzigen Primfaktors konstruieren; eine Primzahlpotenz hat genau einen verschiedenen Primfaktor, und der Exponent k gibt die Vielfachheit an. ## Demonstration Demonstration 27 = 3^3 ist eine Primzahlpotenz mit p=3 und k=3; ihr einziger Primteiler ist 3 und ihre Teiler sind 1,3,9,27. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Irrtümlich Fälle einschließen (etwa p^0=1) wenn die Standarddefinition k ≥ 1 fordert, oder Primzahlpotenzen mit Primzahlen verwechseln, wenn k>1. ## Konsequenz Konsequenz Primzahlpotenzen nehmen eine klare Stellung in der multiplikativen Struktur ein: ihre multiplikative Ordnung modulo anderer Zahlen und das Verhalten arithmetischer Funktionen sind einfacher zu analysieren, weil nur ein Primfaktor beteiligt ist. ## Umkehrung Umkehrung Die Gegenklasse sind Zahlen, die nicht reine Potenzen eines einzelnen Primfaktors sind, also solche mit mindestens zwei verschiedenen Primfaktoren; diese haben komplexere multiplikative Strukturen. ## Abgrenzung Abgrenzung 1 ist nur eingeschlossen, falls k=0 zugelassen wird; nach Standarddefinition (k ≥ 1) ist 1 ausgeschlossen. Gilt ausschließlich für positive ganze Zahlen mit genau einem verschiedenen Primfaktor und schließt zusammengesetzte Zahlen mit mehreren verschiedenen Primfaktoren aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Steht nahe am Begriff 'Primzahl', unterscheidet sich aber dadurch, dass Primzahlen den Fall k=1 darstellen; Spannungen entstehen, wenn Eigenschaften von Primzahlen nicht auf höhere Primzahlpotenzen übertragbar sind. ## Synthese Synthese Eine Primzahlpotenz ist eine ganze positive Zahl, die entsteht, indem man eine einzelne Primzahl zu einem positiven ganzzahligen Exponenten erhebt; sie hat genau einen verschiedenen Primfaktor.