##  [Vollkommene Zahl](/de/node/62937) 

 Definition

Eine positive ganze Zahl, die gleich der Summe ihrer echten positiven Teiler (ohne die Zahl selbst) ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Charakterisiert durch die Teilersummfunktion σ mit σ(n) = 2n, also ist die Summe der echten Teiler s(n) = n; ordnet eine Klasse von Zahlen mit exakt ausgeglichenen Teilen und Ganzen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiele sind 6 (1+2+3), 28 (1+2+4+7+14) und 496. Gerade vollkommene Zahlen sind genau die der Form 2^{p−1}(2^{p}−1), wobei 2^{p}−1 prim ist; das Vorkommen ungerader vollkommener Zahlen ist ungeklärt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Zahl selbst als echten Teiler zählen und so etwa 1 als perfekt bezeichnen, oder nahe Gleichheiten (Quasi- oder mehrfache vollkommene Zahlen) ohne die exakte Gleichheitsbedingung als perfekt ansehen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Vollkommene Zahlen verbinden die Teilerarithmetik mit der Primstruktur (über Mersenne-Primzahlen) und bieten konkrete Ziele für Klassifikation und computergestützte Suche; ein Beweis über ungerade vollkommene Zahlen würde eine lange offene Frage klären.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Umkehrbegriffe sind üppige (abundant) Zahlen, bei denen die echten Teiler die Zahl übersteigen, und mangelhafte (defiziente) Zahlen, bei denen die Summe kleiner ist; sie messen Ungleichgewicht in gegensätzlicher Richtung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Beschränkt auf positive ganze Zahlen; verlangt exakte Gleichheit zwischen n und der Summe seiner echten Teiler. Schließt üppige, defiziente, quasi-vollkommene (hypothetische) und mehrfache vollkommene Zahlen aus, sofern sie die Gleichheit nicht erfüllen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Im Spannungsfeld zu mehrfach vollkommenen Zahlen (σ(n) ist ein Vielfaches von n) und zu Näherungen wie quasi-vollkommene Zahlen; die Spannung liegt zwischen exaktem Ausgleich und approximativen oder skalierten Ausgleichen der Teilersumme.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine vollkommene Zahl ist eine positive ganze Zahl, deren echte Teiler sich exakt zur Zahl selbst addieren; ein seltenes arithmetisches Gleichgewicht, das bei geraden Fällen mit Mersenne-Primzahlen verknüpft ist und bei ungeraden Fällen ungelöst bleibt.