##  [Hauptideal](/de/node/62887) 

 Definition

Ein Ideal eines Ringes R, das von einem einzigen Element a in R erzeugt wird, bezeichnet (a) und bestehend aus allen Vielfachen r·a (oder a·r) mit r in R. Hauptideale sind die einfachsten Ideale und stehen im Mittelpunkt der Untersuchung von Hauptidealbereichen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Erzeugung durch ein einzelnes Element komprimiert die Struktur des Ideals auf das algebraische Verhalten eines Erzeugers bezüglich Multiplikation mit Ringelementen; in Integritätsbereichen, in denen jedes Ideal principal ist, reduzieren sich ideale Fragestellungen auf Elementarithmetik bis auf Einheiten.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In Z ist das von 6 erzeugte Ideal (6) = 6Z, das genau die durch 6 teilbaren ganzen Zahlen enthält. Im Polynomring k[x] besteht das Ideal (x) aus allen Polynomen mit verschwindendem Absolutglied.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, weil in Beispielen wie Z oder k[x] viele Ideale Hauptideale sind, sei jedes Ideal in jedem Ring principal; 'Hauptideal' mit der Eigenschaft 'Hauptidealbereich' (PID) zu verwechseln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Sind Ideale principal, vereinfachen sich viele Rechnungen: Idealprodukt, Inklusion und ggT lassen sich über Erzeuger und Einheiten verfolgen, und die Klassengruppe ist trivial in Ringen, in denen jedes Nichtnullideal principal ist.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenstück sind nicht-principale Ideale, die mehrere Erzeuger benötigen und bei deren Multiplikation und Inversion komplexere Phänomene auftreten; solche Ideale zeigen das Versagen eines Rings, ein PID zu sein.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Ein Hauptideal ist ein konkretes Ideal, das von einem Element erzeugt wird; 'principal' ist eine Eigenschaft einzelner Ideale, während 'Principal Ideal Domain' eine globale Ringeigenschaft ist. In nichtkommutativen Ringen sind links-/rechts-principale Ideale auseinanderzuhalten.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Hauptideal versus von mehreren Elementen erzeugtes Ideal: beides sind Ideale, doch ersteres besitzt einen Erzeuger bis auf Einheiten; Hauptideal versus erzeugendes Element: dasselbe Ideal kann unterschiedliche Erzeuger haben, die nur durch eine Einheit unterschieden sind.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Hauptideal ist das Ideal aller Vielfachen eines Elements; wenn jedes Ideal so beschaffen ist, reduziert sich die Idealtheorie des Rings auf Elementarithmetik, während nicht-principale Ideale eine reichere multiplikative Struktur offenbaren.