## [Ideal](/de/node/62883) Definition Eine Teilmenge I eines Ringes R, die eine additive Untergruppe von R ist und unter Multiplikation mit beliebigen Elementen aus R abgeschlossen ist (r·x und x·r liegen in I für r in R und x in I). Ideale kodieren Teilbarkeits-, Kongruenz- und Faktorisierungseigenschaften des umgebenden Ringes und sind die Kerne von Ringhomomorphismen. ## Prinzip Prinzip Ein Ideal organisiert Elemente, die bezüglich Teilbarkeit oder Kongruenz nicht unterscheidbar sind; Abschließung unter Multiplikation gewährleistet Kompatibilität mit der Ringwirkung, so dass der Quotient durch das Ideal wieder einen Ring ergibt. ## Demonstration Demonstration Bei den ganzen Zahlen Z ist für jedes n die Menge nZ = {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} ein Ideal: abgeschlossen unter Addition und unter Multiplikation mit beliebigen ganzen Zahlen; Z/nZ ist der vertraute Restklassenring modulo n. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jede additive Untergruppe eines Ringes ohne Prüfung der multiplikativen Abschließung als Ideal zu behandeln, oder in einem nicht-prinzipiellen Ring anzunehmen, jedes Ideal sei von einem Element erzeugt. ## Konsequenz Konsequenz Für ein echtes Ideal I ist der Quotientenring R/I wohl definiert, und idealeigenschaften (prim, maximal, primär) spiegeln sich in algebraischen Eigenschaften dieses Quotienten wider; prime Ideale liefern Integritätsbereiche, maximale Ideale Körper. ## Umkehrung Umkehrung Das umgekehrte Konzept ist eine multiplikativ abgeschlossene Menge S ⊆ R, die zur Lokalisierung von R verwendet wird; anstelle von Addition werden Elemente invertiert und der Ring vergrößert. ## Abgrenzung Abgrenzung Hier wird 'Ideal' im zweiseitigen Sinn für kommutative Einheitsringe verwendet; in nichtkommutativen Ringen muss zwischen Links-, Rechts- und zweiseitigen Idealen unterschieden werden. Ideale sind keine Unterringe, sofern sie nicht 1 enthalten, und in Ringen mit Nullteiler verhalten sich Ideale anders als in Integritätsbereichen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Ideal versus Untermodul: Jedes Ideal ist ein R-Untermodul von R, doch 'Untermodul' ist allgemeiner und drückt nicht die multiplikative Absorption aus; Ideal versus Quotient: Das Ideal ist die Teilmenge, der Quotient betont die neue Ringstruktur. ## Synthese Synthese Ein Ideal ist eine additive Untergruppe eines Ringes, die Multiplikation mit Ringelementen absorbiert, wodurch Kongruenzen und Teilbarkeitsrelationen beschrieben, Quotienten konstruiert und algebraische Eigenschaften klassifiziert werden können; außerhalb des kommutativen Falls sind Link/Rechts-Unterscheidungen wichtig.