##  [Cross-Cap](/de/node/62850) 

 Definition

Ein lokales Modell einer nichtorientierbaren Flächenimmersion in den dreidimensionalen Raum, das eine einseitige Selbstschnittstelle zeigt, die als Cross-Cap bezeichnet wird; es stellt das lokale Bild einer Nachbarschaft in der projektiven Ebene unter einer Immersion dar, die entgegengesetzte Richtungen identifiziert und eine charakteristische Doppelmenge erzeugt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Entsteht aus einer Immersion eines nichtorientierbaren lokalen Stücks (z. B. einer Umgebung eines Punktes der projektiven Ebene) nach R^3; die Immersion hat lokal in der Regel Rang zwei, aber die Identifikation entgegengesetzter Richtungen erzeugt eine transversale Selbstschnittstelle, deren lokale Topologie einseitig ist und nicht in einem Pinch endet.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Eine Immersion einer kleinen Scheibe mit orientierungsumkehrender Identifikation kann ein lokales Bild mit einer transversalen Doppelkurve erzeugen, an der die Fläche nur eine Seite hat; im Gegensatz zum Whitney-Regenschirm setzt sich die Doppelmenge typischerweise fort, anstatt in einem Pinch zu enden.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jede einseitige Selbstschnittstelle als Cross-Cap zu bezeichnen — beispielsweise einen Whitney-Regenschirm oder eine beliebige transversale Doppelkurve so zu etikettieren — vermischt verwandte, aber unterscheidbare Immersionsphänomene.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Eine Cross-Cap signalisiert lokale Nichtorientierbarkeit der immersiven Fläche und schränkt mögliche Einbettungen und Isotopien ein; sie ist das lokale Hindernis dafür, dass die Nachbarschaft in R^3 zweiseitig eingebettet werden kann.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wenn die lokale Selbstschnittkurve in einem Pinch endet oder aus einem Rangverlust-Germ einer Abbildung statt aus einer Immersion mit Orientierungsumkehr entsteht, ist die Singularität keine Cross-Cap, sondern eher ein Whitney-Regenschirm oder eine andere Pinch-artige Singularität.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Bezieht sich auf Immersionen von Flächen in den dreidimensionalen Raum und lokale Modelle nichtorientierbarer Patches; schließt rein eingebettete Selbstschnittphänomene ohne orientierungsumkehrende Identifikation und Pinch-Punkt-Singularitäten durch Rangverlust aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Teilt Merkmale mit dem Whitney-Regenschirm und mit immersiven transversalen Doppelkurven; der semantische Unterschied besteht darin, dass Cross-Caps lokale Nichtorientierbarkeit mit fortlaufender Doppelmenge ausdrücken, während Regenschirme ein endendes Pinch und Rangverlust aufweisen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Cross-Cap ist die immersionstheoretische lokale Erscheinungsform von Nichtorientierbarkeit im dreidimensionalen Raum: eine orientierungsumkehrende Identifikation erzeugt eine einseitige Selbstschnittstelle (fortlaufende Doppelmenge), die eine lokale zweiseitige Einbettung verhindert.