##  [Doppelte Stelle](/de/node/62844) 

 Definition

Ein singulärer Punkt auf einer Kurve oder Fläche, an dem zwei glatte lokale Zweige transversal zusammentreffen und eine einfache Kreuzung der Multiplizität zwei erzeugen; lokal modelliert durch die Gleichung xy = 0 in geeigneten Koordinaten.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Transversale Schnittstelle zweier glatter lokaler Komponenten mit Schnittmultiplizität zwei: Die Tangentialrichtungen sind verschieden und der lokale analytische Typ zerfällt in zwei glatte, sich einfach kreuzende Zweige.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Eine ebene algebraische Kurve, lokal beschrieben durch f(x,y)=xy, hat zwei glatte Zweige {x=0} und {y=0}, die sich am Ursprung treffen; topologisch ist das Verknüpfungsbild zwei kreuzende Bögen, und die Singularität lässt sich durch einen einzelnen Blow-up auflösen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Ein Tacnode oder einen Spitzpunkt (Cusp) als Doppelstelle bezeichnen; diese haben höhergradige Tangentialität oder bestehen aus einem einzelnen Zweig mit Selbstüberschneidung und sind keine transversalen Zwei-Zweig-Kreuzungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Lokale Rechnungen (Schnittzahlen, Beitrag zur δ-Invariante) und einfache topologische Beschreibungen sind anwendbar; in der Deformation lässt sich die Stelle typischerweise in zwei nahe beieinanderliegende Punkte glätten oder durch eine einzige einfache Operation auflösen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wenn die beiden lokalen Zweige dieselbe Tangentialrichtung teilen (tangent sind), handelt es sich nicht um eine Doppelstelle, sondern um eine höhergradige Tangentialität wie ein Tacnode.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für isolierte, transversale Zwei-Zweig-Singularitäten auf Kurven oder Hypersurfaces; schließt nicht isolierte Selbstüberschneidungen, höherordentliche Singularitäten und Einzweig-Singularitäten (Cusps) aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht im Spannungsfeld zu 'Tacnode' und 'Cusp' bei informellen Beschreibungen von Schnittpunkten; die Doppelstelle betont transverse, multizwei Kreuzung, während Tacnode und Cusp Tangentialität bzw. Einzweig-Degeneration hervorheben.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Doppelstelle ist die einfachste isolierte Kreuzungssingularität: zwei verschiedene glatte lokale Zweige schneiden sich mit verschiedenen Tangentialrichtungen, sind lokal äquivalent zu xy=0 und haben vorhersagbare lokale Invarianten und eine elementare Auflösung.