##  [Pickscher Satz](/de/node/62780) 

 Definition

Für ein einfaches Polygon in der Ebene mit ganzzahligen Eckkoordinaten drückt Picks Satz die euklidische Fläche A durch A = I + B/2 − 1 aus, wobei I die Anzahl der inneren Gitterpunkte und B die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Fläche eines Gitterpolygons wird kombinatorisch durch das Zählen der Gitterpunkte im Inneren und auf dem Rand bestimmt; Geometrie reduziert sich auf Gitterzählung bei ganzzahligen Eckkoordinaten.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: Das Dreieck mit Ecken (0,0), (4,0) und (0,3) hat nach der Determinantenformel die Fläche 6. Die Randgitterpunkte B betragen 8 (fünf auf der Basis, vier auf der vertikalen Seite, zwei auf der Hypotenuse mit Korrektur der Eckpunkte), somit sagt Pick I = A − B/2 + 1 = 6 − 4 + 1 = 3 innere Gitterpunkte voraus, was sich durch direktes Zählen bestätigt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Formel auf Polygone mit nichtganzzahligen Eckpunkten, auf Polygone mit Löchern oder auf selbstüberschneidende Polygone anzuwenden; in diesen Fällen gilt Picks Satz nicht oder erfordert Modifikationen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Erlaubt eine exakte, einfache kombinatorische Berechnung der Flächen von Gitterpolygonen und das Ermitteln innerer Gitterpunktzahlen aus Flächen‑ und Randdaten; er bildet die Grundlage diskreter und rechnerischer Methoden der planaren Gittergeometrie.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Sind A und B für ein Gitterpolygon gegeben, liefert Picks Satz eindeutig I; die Angabe der Fläche allein bestimmt jedoch nicht die kombinatorische Gestalt des Polygons. Die Formel ist eine exakte Gleichung, keine weitergehende Gestaltbehauptung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Voraussetzung ist ein einfaches (nicht selbstüberschneidendes) Polygon mit ganzzahligen Eckpunkten in der Ebene; Polygone mit Löchern, gekrümmten Rändern oder nichtganzzahligen Ecken liegen außerhalb des Geltungsbereichs.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird häufig in Verbindung mit diskreten Versionen stetiger Theoreme (etwa Analoga zu Gauß‑Bonnet oder zur Euler‑Charakteristik) gesehen; die Spannung liegt zwischen kombinatorischen Gitterzählungen und glatten Flächenbegriffen, doch Pick ist im Gitterkontext exakt.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Picks Satz stellt die exakte Brücke zwischen diskretem Zählen von Gitterpunkten und kontinuierlicher Fläche für einfache Gitterpolygone her: Fläche = innere Punkte + halbe Randpunkte − 1, eine kompakte kombinatorische Formel der planaren Gittergeometrie.