##  [Satz des Neun-Punkte-Kreises](/de/node/62772) 

 Definition

Satz, der besagt, dass neun Punkte eines Dreiecks auf einem Kreis liegen: die Mittelpunkte der drei Seiten, die Füße der drei Höhen und die Mittelpunkte der Strecken vom Orthozentrum zu den Ecken. Dieser Kreis heißt Neun-Punkte-Kreis; sein Zentrum N ist der Mittelpunkt der Strecke Orthozentrum–Umkreiszentrum und sein Radius ist die Hälfte des Umkreisradius.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ordnungssatz zur Dreieckstruktur: Bestimmte natürliche Mittelpunkt- und Fuß-Konstruktionen liegen auf einem Kreis, dessen Zentrum und Radius einfach mit klassischen Zentren (Umkreiszentrum, Orthozentrum) verknüpft sind und so Symmetrien und Skalierungsrelationen im Dreieck offenbaren.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Im Dreieck ABC mit Umkreiszentrum O und Orthozentrum H sind der Mittelpunkt von AH, der Mittelpunkt von BC und der Fuß der Höhe aus A drei der neun Punkte; klassische Kongruenzen oder Ähnlichkeitsargumente zeigen, dass diese Punkte und die entsprechenden für B und C einen gemeinsamen Kreis bilden. Algebraisch ergibt sich N = (H+O)/2 und Radius = R/2, wenn R der Umkreisradius ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, der Neun-Punkte-Kreis passe durch die ursprünglichen Eckpunkte oder ihn mit dem Umkreis gleichzusetzen; oder die euklidische Neun-Punkte-Konstruktion in einer nicht-euklidischen Ebene anzuwenden, ohne Abstände und Senkrechtigkeitsbegriffe anzupassen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht viele abgeleitete Gleichheiten und Vereinfachungen: Mittelpunkte und Fußpunkte sind konkyclisch, die Lage von N erleichtert Konstruktionen, und Beziehungen wie Radius = R/2 erlauben die Übertragung von Umkreis-Informationen auf den Neun-Punkte-Kreis für weitere metrische Folgerungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung—dass Punkte auf dem Neun-Punkte-Kreis notwendigerweise Mittelpunkte oder Höhenfüße sein müssen—ist nicht automatisch ohne Prüfung der Dreiecksbeziehungen. Ein Gegenstück ist der Umkreis, der durch die Eckpunkte statt durch die neun speziellen Punkte verläuft.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt in der euklidischen Ebene für nichtdegenerierte Dreiecke; bei degenerierten Dreiecken (kollineare Eckpunkte) entfällt die senkrechte Konstruktion und die Bedeutung des Umkreisradius. Der Satz setzt die üblichen euklidischen Definitionen von Mittelpunkt und Höhenfuß voraus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem Neun-Punkte-Kreis und dem Umkreis oder Inkreis: Jeder Kreis wählt eine andere kanonische Punktmenge (Mittelpunkte/Füße vs. Ecken vs. Berührungspunkte) und führt zu unterschiedlichen invarianten Eigenschaften und Anwendungen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Neun-Punkte-Kreis fasst Mittelpunkt- und Höhenfußkonstruktionen zu einem einzigen kreisförmigen Ort zusammen: neun kanonische, leicht zu konstruierende Punkte sind konkyclisch, und Zentrum sowie Radius sind einfache lineare bzw. Skalierungsfunktionen des Umkreiszentrums und Umkreisradius, was kompakte metrische und synthetische Folgerungen ermöglicht.