## [Dreiecksungleichung](/de/node/62766) Definition Aussage aus der Metrik: Für drei Punkte x, y, z gilt, dass die Distanz d(x,z) nicht größer ist als d(x,y)+d(y,z), also d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z). ## Prinzip Prinzip Ordnungssatz, dass Distanzen subadditiv sind: Ein Umweg über einen Zwischenpunkt kann die Gesamtdistanz nicht unter die direkte Distanz drücken. ## Demonstration Demonstration Im euklidischen Raum wählen A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1). AB=1, BC=1, AC=√2; damit AC ≤ AB+BC, da √2 ≤ 2. In normierten Vektorräumen entspricht ||u+v|| ≤ ||u||+||v|| der Dreiecksungleichung der induzierten Metrik. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Dreiecksungleichung auf gerichtete oder signierte Abstände anwenden, ohne die Orientierung zu beachten, oder annehmen, sie gelte für beliebige Ähnlichkeits- oder Unähnlichkeitsmaße, die keine Metriken sind. ## Konsequenz Konsequenz Sie stellt sicher, dass Geradensegmente kürzeste Wege sind, stützt Konvergenzaussagen in der Analysis und sorgt für das erwartete Verhalten von topologien, die durch Normen definiert werden. ## Umkehrung Umkehrung Die gegenteilige Ungleichung (d(x,z) ≥ d(x,y)+d(y,z)) ist im Allgemeinen falsch; ein deutlicher Gegensatz ist die ultrametrische Bedingung d(x,z) ≤ max{d(x,y),d(y,z)}, die strengere Einschränkung. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Metriken und Pseudometriken (nichtnegativ, symmetrisch, erfüllt Dreiecksungleichung). Gilt nicht für beliebige sogenannte ‚Abstands‘-Relationen ohne metrische Axiome oder für Messgrößen mit negativen Werten. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen der üblichen additiven Dreiecksungleichung und der ultrametrischen Maximalbedingung, weil beide sehr unterschiedliche geometrische Folgerungen haben. ## Synthese Synthese Die Dreiecksungleichung ist das Subadditivitätsaxiom metrischer und normierter Räume: sie verhindert ‚Kurzschlüsse‘ der Distanz, begründet die Geometrie kürzester Wege und liefert zentrale analytische und topologische Folgen.