## [Federer-Reichweite (Reach)](/de/node/62755) Definition Für eine abgeschlossene Teilmenge A des euklidischen Raums ist die Reach (Reichweite) das Supremum r≥0, so dass jeder Punkt mit Abstand ## Prinzip Prinzip Quantifiziert extrinsische Regularität durch Ausschluss nahe Selbstannäherung und großer Krümmung: Reach steuert Krümmung, Abstand zur medialen Achse und garantiert eine Rohrumgebung, in der die Projektion auf die Menge Lipschitz (bei glatten Mengen sogar glatt) ist. ## Demonstration Demonstration Für eine glatt eingebettete Kurve oder Hypersurface mit beschränkter Krümmung ist die Reach wenigstens der Kehrwert der maximalen Hauptkrümmung; für eine Kugel des Radius R in euklidischem Raum ist die Reach gleich R (der Abstand zur medialen Achse ist der Mittelpunkt). ## Fehlanwendung Fehlanwendung Hausdorff-Nähe oder C^1-Regularität als Ersatz für positive Reach zu verwenden — eine C^1-Kurve kann aufgrund beinahe selbstannähernder Stellen beliebig kleine Reach besitzen — oder Reach mit intrinsischen Injektivitäts- oder Konvexitätsradien zu verwechseln, die anders definiert sind. ## Konsequenz Konsequenz Positive Reach liefert eine Rohrumgebung diffeomorph zum Normalbündel, eine wohldefinierte orthogonale Projektion, Stabilität unter kleinen Störungen und ermöglicht Krümmungsmaße und geometrische Inferenz; viele Rekonstruktionsresultate verlangen eine positive untere Schranke der Reach. ## Umkehrung Umkehrung Die mediale Achse (Menge der Punkte mit mehreren nächsten Nachbarn) ist das Komplement innerhalb der Rohrumgebung des Bereichs der Eindeutigkeit; in der umgekehrten Sicht lokalisiert man, wo Projektionen versagen oder Krümmungsbedingungen gebrochen werden. ## Abgrenzung Abgrenzung Ein extrinsischer euklidischer Begriff, der auf Teilmengen des euklidischen Raums (oder auf riemannschen Mannigfaltigkeiten via isometrische Einbettung) anwendbar ist; er verlangt globale Kontrolle der Einbettungsgeometrie und gilt nicht direkt für abstrakte riemannsche Mannigfaltigkeiten ohne Bezug auf einen ambienten euklidischen Raum. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Wird oft mit Injektivitäts- und Konvexitätsradien für eingebettete Mannigfaltigkeiten verglichen: Reach ist extrinsisch und betrifft Einzigartigkeit des nächsten Punktes, während Injektivitäts- und Konvexitätsradien intrinsische geodätische Begriffe sind; Vermischung führt zu Fehlern bei Rekonstruktion oder Nachbarschaftsanalyse. ## Synthese Synthese Die Reach ist der größte Radius einer Rohrumgebung um eine euklidische Teilmenge, auf der die nächste-Punkt-Abbildung eindeutig ist: ein extrinsisches Maß der Randregularität, das Krümmungsgrenzen und das Vermeiden der medialen Achse mit der Existenz glatter Projektionen verknüpft.