##  [Weingartenabbildung (Formoperator)](/de/node/62749) 

 Definition

Der lineare Endomorphismus des Tangentialraums an einem Punkt einer eingebetteten Hypersurface, definiert durch A_n(v)= - (∇_v n)_T, wobei n eine gewählte Einheitsnormale ist und das T die tangentiale Projektion bezeichnet; seine Eigenwerte sind die Hauptkrümmungen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Er stellt (bis auf Vorzeichen) die Differentielle der Gaußabbildung dar und kodiert, wie sich die Normale entlang tangentialer Richtungen ändert; er ist der metrische Adjungierte der zweiten Fundamentalform durch II(u,v)=⟨A(u),v⟩.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine Fläche in R^3 mit orthonormiertem Tangentialbasis berechnet man die Matrix von A aus den Richtungsableitungen des Einheitsnormalvektors; die Diagonalisierung dieser Matrix liefert unmittelbar Hauptrichtungen und Hauptkrümmungen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das Minuszeichen oder die tangentiale Projektion zu vernachlässigen, sodass normale Komponenten fehlinterpretiert werden, oder Symmetrie anzunehmen ohne Bezug auf die riemannsche Metrik (Symmetrie gilt nur relative zur Metrik).

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Gibt ein Endomorphismus, dessen spektrale Zerlegung Hauptkrümmungen und Hauptrichtungen liefert; Spur und Determinante (bei festgelegter Vorzeichenkonvention) ergeben mittlere und gaußsche Krümmung.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Krümmung nur als bilineare Form (zweite Fundamentalform) zu sehen nimmt die Operatorperspektive weg; die Rückgewinnung von II aus A über die Metrik verliert die Unmittelbarkeit einer auf Vektorfelder wirkenden linearen Abbildung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für eingebettete Hypersurfaces (oder bzgl. eines gewählten Normalenfeldes bei höherer Kodimension) und abhängig von der Wahl der Orientierung/Normalen; Vorzeichenkonventionen variieren und müssen festgelegt werden.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen der Betrachtung extrinsischer Krümmung als Operator (Gestaltoperator) versus als bilineare Form (zweite Fundamentalform) und zwischen unterschiedlichen Vorzeichenkonventionen für die Differential der Gaußabbildung.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Gestaltoperator ist die Tangentialraum-Linera­risation der Normalenvariation: ein metrikabhängiger Endomorphismus, dessen Spektraldaten mit den Hauptkrümmungen übereinstimmen und dessen adjungierte Beziehung zur zweiten Fundamentalform Operator- und Formansichten verbindet.