## [Schnittkrümmung](/de/node/62741) Definition Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist die Schnittkrümmung K(σ) einer zweidimensionalen Tangentialebene σ die Zahl, die man erhält, indem man den Riemannschen Krümmungstensor auf einer orthonormalen Basis von σ auswertet und normiert; sie misst die Gaußsche Krümmung der durch geodätische Kurven tangential zu σ erzeugten Fläche. ## Prinzip Prinzip Schnittkrümmung entnimmt die Krümmung, die einer spezifischen 2-Ebene im Tangentialraum zugeordnet ist, und wird algebraisch durch den Riemannschen Tensor bestimmt; sie steuert, wie sich Geodäten, die anfangs in dieser Ebene liegen, auseinander- oder zusammenlaufen. ## Demonstration Demonstration Auf der runden n-Sphäre mit Radius r hat jede 2-Ebene konstante Schnittkrümmung K = 1/r^2; geodätische Dreiecke auf der Sphäre weisen Winkelsummen > π auf, was mit positiver Schnittkrümmung übereinstimmt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, die Kenntnis der Schnittkrümmung in einer endlichen Anzahl von Ebenen reiche zur Bestimmung des gesamten Krümmungstensors in Dimensionen > 3, ist falsch; richtungsbezogene Informationen reichen möglicherweise nicht zur Rekonstruktion aller Komponenten des Riemannschen Tensors. ## Konsequenz Konsequenz Vorzeichen und Schranken der Schnittkrümmung führen zu starken geometrischen und topologischen Resultaten (Vergleichssätze, Kontrolle konjugierter Punkte, Steifigkeitsphänomene); gleichmäßige Positiv- oder Negativwerte haben tiefgreifende globale Folgen. ## Umkehrung Umkehrung Flachheit ist die Umkehrung: Verschwindende Schnittkrümmung in jeder Ebene kennzeichnet lokal euklidisch isometrische Mannigfaltigkeiten und kehrt somit die Fokussierungs-/Entfokussierungsphänomene von Geodäten um. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert nur für nichtdegenerierte zweidimensionale Ebenen im Tangentialraum einer riemannschen oder pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit; nicht anwendbar ohne Metrik, versagt bei degenerierten oder singulären Metriken; in lorentzscher Signatur unterscheidet man zeitartige, raumartige und null Schnittkrümmungen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht eine Spannung zwischen der Schnittkrümmung als richtungsfeinem Invariant und Ricci- bzw. Skalarmetriken, die über Richtungen mitteln; Aussagen auf Basis von Schnittkrümmungsgrenzen sind stärker, aber schwerer aus gröberen Invarianten abzuleiten. ## Synthese Synthese Die Schnittkrümmung ist die richtungsbezogene Gaußsche Krümmung, die einer Tangentialebene zugeordnet wird und aus dem Riemannschen Tensor berechnet wird; sie bestimmt das lokale geodätische Verhalten und führt zu gemittelten Größen (Ricci, Skalar), während sie die detaillierteste richtungsbezogene Krümmungsinformation enthält.