## [Orbifold](/de/node/62703) Definition Ein Orbifold ist ein topologischer Raum (oder ein strukturierteres Objekt), der lokal durch den Quotienten des euklidischen Raums R^n durch die Wirkung einer endlichen Gruppe modelliert ist; Charts notieren lokale Isotropiegruppen, so dass singuläre Punkte wohldefinierte endliche Stabilisatoren haben. ## Prinzip Prinzip Das ordnende Prinzip ist die äquivariante lokale Modellierung: Räume können lokal wie R^n/G für endliche G aussehen, was kontrollierte Singularitäten erlaubt, dabei aber eine atlasartige, manifoldähnliche Struktur und Begriffe wie orbifold-Fundamentalgruppe und Tangent-Orbibündel bewahrt. ## Demonstration Demonstration Beispiel: ein 2-dimensionales Orbifold kann der Quotient der Sphäre durch eine endliche Rotationsgruppe sein und dabei Konuspunkte erzeugen; in der geometrischen Gruppentheorie oder in string-bezogener Geometrie liefern Orbifold-Quotienten von Mannigfaltigkeiten durch endliche Gruppen klassische Beispiele. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Als Orbifold zu bezeichnen, wenn ein Raum isolierte Singularitäten hat, aber keine kompatiblen lokalen Quotienten durch endliche Gruppencharts spezifiziert werden oder Isotropie-Darstellungen fehlen, ist Fehlanwendung. ## Konsequenz Konsequenz Richtige Verwendung von Orbifolds erlaubt die Erweiterung manifoldtheoretischer Sätze (Kohomologie, Indextheoreme, Krümmungsformeln) auf Einstellungen mit endlichen Quotientensingularitäten und liefert modifizierte Invarianten, die Isotropie-Beiträge berücksichtigen. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrung ist die Mannigfaltigkeit: überall lokal modelliert auf euklidischem Raum mit trivialem Stabilisator; Mannigfaltigkeiten besitzen nicht die vorgegebenen lokalen endlichen Symmetrien, die Orbifold-Singularitäten erzeugen. ## Abgrenzung Abgrenzung Geltungsbereich: Räume, die lokal isomorph zu R^n/G für endliche Gruppen G mit kompatiblen Chart-Übergängen sind; schließt nichtendliche Quotienten, allgemeine stratifizierte Räume ohne endliche Isotropie und Singularitäten ohne lokale Gruppenquotientbeschreibung aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen 'Orbifold' und 'Stack' oder 'singulärem Raum': Stacks erfassen feinere Automorphismendaten und Funktorialität, während naive singuläre Räume die Isotropie-Buchführung vermissen können, die für Orbifolds erforderlich ist. ## Synthese Synthese Ein Orbifold ist ein manifoldähnliches Objekt mit kontrollierten Quotientensingularitäten durch endliche Gruppen: lokale Charts sind R^n/G, Isotropiegruppen werden im Atlas vermerkt, und viele differential-topologische Werkzeuge lassen sich nach Anpassung an Gruppenwirkungen und Fixpunktbeiträge fortführen.