##  [Cauchysche Integrationsformel](/de/node/62596) 

 Definition

Eine fundamentale Identität der komplexen Analysis: Ist f holomorph auf einer offenen Menge, die eine geschlossene Kurve γ und ihr Inneres enthält, so gilt für jeden Punkt a im Inneren von γ f(a) = (1/2πi) ∮_γ f(z)/(z−a) dz, und allgemein f^(n)(a) = n!/(2πi) ∮_γ f(z)/(z−a)^{n+1} dz. Damit werden Werte und Ableitungen durch Randintegrale ausgedrückt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Holomorphie impliziert lokale Integraldarstellungen: Werte und Ableitungen an inneren Punkten werden durch Umlaufintegrale um diese Punkte bestimmt, was analytische Fortsetzung und Starrheit widerspiegelt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für f(z)=1 und γ = Einheitskreis liefert das Integral von 1/(z−a) über γ 2πi, falls a innen liegt, sonst 0, womit die Formel verifiziert ist. Für allgemeines holomorphes f berechnet man f(a) durch Integration von f(z)/(z−a) über einen kleinen Kreis um a.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anwendung der Formel wenn f nicht holomorph im Inneren von γ ist, γ nicht geschlossen oder falsch orientiert ist, oder wenn das Integranden weitere Singularitäten im Inneren hat außer dem einfachen Pol bei z=a.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Unmittelbare Folgerungen sind Analytizität (holomorphe Funktionen stimmen mit ihrer Taylorreihe überein), Cauchy‑Abschätzungen für Ableitungen, Liouvilles Satz sowie die Grundlage für die Residuentheorie und zahlreiche Eindeutigkeitsaussagen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Morera's Satz ist eine Art Umkehrung: Wenn alle geschlossenen Kurvenintegrale einer stetigen Funktion auf einem Gebiet verschwinden, ist die Funktion holomorph. Das Verschwinden einzelner Integrale um eine Kurve genügt jedoch nicht.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Setzt voraus, dass f auf und im Inneren der Kurve holomorph ist (oder mindestens auf der abgeschlossenen Kurve stetig und innen holomorph) und γ eine positiv orientierte einfache geschlossene Kurve ist; Singularitäten im Inneren machen die direkte Formel ungültig, sofern sie nicht durch Residuen berücksichtigt werden.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Enge Beziehungen zum Residuensatz und zu Integraldarstellungen meromorpher Funktionen; zu unterscheiden ist die lokale Rekonstruktion von Werten durch Cauchy von weiterreichenden Integraltechniken, die Pole und Verzweigungsschnitte behandeln.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Cauchysche Integrationsformel wandelt Holomorphie in explizite Umlaufintegral‑Darstellungen von Funktionswerten und Ableitungen um: Die Kenntnis einer holomorphen Funktion auf einer Schleife bestimmt ihr inneres Verhalten und liefert Analytizität, Ableitungsschranken und viele strukturelle Konsequenzen.