## [Stone–Weierstrass-Theorem](/de/node/62591) Definition Ein Satz, der Bedingungen angibt, unter denen eine Teilalgebra A von C(X) (stetige reell‑ oder komplexwertige Funktionen auf einem kompakten Hausdorff‑Raum X) gleichmäßig dicht in C(X) ist: üblicherweise muss A die Konstanten enthalten und Punkte trennen; im komplexen Fall sollte A unter Konjugation abgeschlossen sein (eine *‑Unteralgebra). ## Prinzip Prinzip Algebraische Abschlüsse unter Addition und Multiplikation zusammen mit der Fähigkeit, Punkte zu trennen, sowie das Vorhandensein von Konstanten erzwingen die gleichmäßige Approximation beliebiger stetiger Funktionen auf Kompakta. ## Demonstration Demonstration Polynome bilden eine Teilalgebra von C([a,b]), enthalten Konstanten und trennen Punkte, daher sind sie gleichmäßig dicht (klassischer Weierstraß). Trigonometrische Polynome trennen Punkte auf dem Kreis und sind dicht in C(S1). ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Dichtheit anzunehmen, obwohl die Algebra keine Punkte trennt, keine Konstanten enthält oder im komplexen Fall nicht unter Konjugation abgeschlossen ist; die kompakte Folgerung auf nicht kompakte Räume zu übertragen, ohne C(X) durch C0(X) zu ersetzen oder Abfallbedingungen zu stellen. ## Konsequenz Konsequenz Bietet ein leistungsfähiges Mittel, stetige Funktionen durch einfachere Klassen (Polynome, algebraische Kombinationen, trigonometrische Summen) zu approximieren; Grundlage für Funktionenkalkül und konstruktive Approximation. ## Umkehrung Umkehrung Eine echte, nach der Supremumsnorm abgeschlossene Teilalgebra kann existieren, wenn die Trennungsbedingung oder die Konstanten fehlen; die Umkehrung identifiziert Hindernisse wie Nicht‑Trennung. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Aussage erfordert X kompakt und Hausdorff sowie Voraussetzungen an A (Konstanten, Trennung, *‑Abschluss im komplexen Fall); für nicht kompakte X gibt es Versionen für C0(X) mit zusätzlichen Bedingungen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen dem klassischen Weierstraß‑Approximationssatz (Polynome auf einem Intervall) und Stones Verallgemeinerung: beide behaupten Dichtheit, unterscheiden sich aber in Hypothesen und Geltungsbereich; Verwechslungen mit der Stone‑Čech‑Kompaktifizierung sind zu vermeiden. ## Synthese Synthese Stone–Weierstrass besagt, dass eine algebraisch und topologisch hinreichend reiche Algebra stetiger Funktionen (Konstanten enthaltend und Punkte trennend, mit *‑Abschluss im komplexen Fall) jede stetige Funktion auf einem Kompaktum gleichmäßig approximiert und so Approximation aus algebraischen Trennungsbedingungen folgt.