##  [Jensens Ungleichung](/de/node/62589) 

 Definition

Ungleichung, die besagt, dass für eine konvexe Funktion φ und eine integrierbare Zufallsvariable X (oder messbare Funktion) die konvexe Funktion am Erwartungswert höchstens dem Erwartungswert der konvexen Funktion ist: φ(E[X]) ≤ E[φ(X]).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ist φ konvex auf einer konvexen Menge und X eine messbare Funktion mit Werten in dieser Menge, integrabel in dem Sinne, dass X und φ∘X integrierbar sind, so gilt φ(∫ X dμ) ≤ ∫ φ∘X dμ. In der Wahrscheinlichkeitssprache: φ(E[X]) ≤ E[φ(X)], bei konkaven φ kehrt sich die Ungleichung um.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Konkretes Beispiel: φ(t)=t^2 (konvex) und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert m; Jensen liefert m^2 ≤ E[X^2], was zur bekannten Identität Var(X)=E[X^2]-m^2 ≥ 0 führt und die Nichtnegativität der Varianz erklärt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jensen mit einer nicht-konvexen φ anzuwenden oder ohne die Integrabilität von φ∘X zu prüfen, führt zu falschen Schlüssen; ein weiterer Missbrauch ist, punktweise Konvexität als ausreichend anzusehen, obwohl Definitionsbereich oder Messbarkeit fehlen können.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Jensen ist ein grundlegendes Werkzeug, das Konvexität und Erwartungswert verbindet, und dient zum Herleiten von Abschätzungen in Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, konvexer Analysis und zur Kontrolle nichtlinearer Transformationen unter Mittelungsoperationen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Für konkave Funktionen ψ kehrt sich die Ungleichung um: ψ(E[X]) ≥ E[ψ(X)]. Man kann die Umkehrung auch durch Vorzeichenwechsel von φ oder durch Verwendung von Subgradienten interpretieren, um in Spezialfällen untere Schranken zu erhalten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Voraussetzung ist, dass φ auf dem relevanten Gebiet konvex ist und dass X und φ∘X integrierbar sind; die Ungleichung gilt für Erwartungswerte gegenüber Wahrscheinlichkeitsmaßen und Integrale über Räume endlichen Maßes, nicht jedoch für nicht-messbare Abbildungen oder φ mit Pathologien auf dem Wertebereich von X.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Die Spannung besteht gegenüber der Linearität des Erwartungswerts: Jensen präzisiert, wie Konvexität das Resultat dämpft oder verstärkt; konkurrierende Intuitionen zum 'Herausziehen' einer Funktion aus einer Mittelung werden durch das Vorzeichen der Konvexität entschieden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Jensens Ungleichung formalisert die Wirkung konvexer (oder konkaver) Nichtlinearitäten auf Mittelwerte: konvexe Funktionen führen dazu, dass φ(E[X]) ≤ E[φ(X]), uneingeschränkt anwendbar in Analyse und Wahrscheinlichkeitstheorie.