##  [Tonellis Theorem](/de/node/62583) 

 Definition

Satz der Maßtheorie, der sicherstellt, dass für eine nichtnegative messbare Funktion auf einem Produktraum das Mehrfachintegral gleich jedem der iterierten Integrale ist, möglicherweise mit dem Wert +∞, ohne zusätzliche Integrierbarkeitsannahmen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ist f:X×Y→[0,∞] messbar, so ist x ↦ ∫_Y f(x,y) dy messbar, ebenso y ↦ ∫_X f(x,y) dx, und ∫_{X×Y} f = ∫_X(∫_Y f(x,y) dy) dx = ∫_Y(∫_X f(x,y) dx) dy, wobei die Integrale auch unendlich sein dürfen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: Sei f(x,y)=χ_A(x)χ_B(y) für messbare Mengen A⊂X und B⊂Y. Tonelli ergibt ∫_{X×Y} χ_{A×B} = μ(A)μ(B) und erlaubt die Berechnung des Produktmaßes durch iterierte Integrale auch wenn die Maße unendlich sind.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Tonelli für signierte oder nicht nichtnegative Funktionen anzuwenden ist falsch; bei Funktionen mit wechselndem Vorzeichen können sich Auslöschungen ergeben und falsche Gleichheiten entstehen, sofern nicht zusätzliche Bedingungen (z. B. absolute Integrierbarkeit) gelten.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Tonelli rechtfertigt Fubini im nichtnegativen Fall und ermöglicht die Anwendung des monotonen Konvergenzsatzes auf Produkträumen; er ist grundlegendes Werkzeug zur Konstruktion des Produktmaßes und zum Vertauschen von Grenzen und Integralen bei Nichtnegativität.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wird die Nichtnegativitätsannahme aufgehoben, gelten eher Fubini-artige Voraussetzungen: für die Gleichheit der iterierten Integrale braucht man absolute Integrierbarkeit; die Nichtnegativität lässt sich nicht ohne weiteres weglassen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt nur für messbare Funktionen mit Werten in [0,∞]; die Endlichkeit des Integrals wird nicht garantiert; üblicherweise werden die Standardkonstruktionen des Produktmaßes und σ-Endlichkeit vorausgesetzt.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen Tonelli (nichtnegativer Fall, Integrale können unendlich sein) und Fubini (Anforderung an absolute Integrierbarkeit); ein konkurrierender Sinn ist die bedingte Integrierbarkeit, bei der keiner der Sätze direkt anwendbar ist.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Tonellis Theorem besagt, dass nichtnegative messbare Funktionen auf Produkträumen iterierte Integrale besitzen, die dem Mehrfachintegral entsprechen (gegebenenfalls unendlich), und begründet damit Produktmaße und die Anwendung der monotonen Konvergenz.