## [Fubinis Theorem](/de/node/62581) Definition Ein Ergebnis der Maßtheorie, das Bedingungen angibt, unter denen das Integral einer messbaren Funktion über einen Produktraum gleich den nacheinander ausgeführten Integralen in beliebiger Reihenfolge ist; üblicherweise formuliert für absolut integrierbare Funktionen auf dem Produktraum. ## Prinzip Prinzip Ist f messbar auf X×Y bezüglich des Produktmaßes und ∫_{X×Y} |f| < ∞, so sind für fast alle x die Schnitte y ↦ f(x,y) integrierbar auf Y und für fast alle y die Schnitte x ↦ f(x,y) integrierbar auf X, und ∫_{X×Y} f = ∫_X(∫_Y f(x,y) dy) dx = ∫_Y(∫_X f(x,y) dx) dy. ## Demonstration Demonstration Konkretes Beispiel: auf R^2 mit dem Lebesgue-Maß sei f(x,y)=sin(xy)/(1+x^2+y^2). Da ∫_{R^2}|f(x,y)| dx dy < ∞ gilt, erlaubt Fubinis Theorem, das Integral durch Iteration in y dann x (oder umgekehrt) zu berechnen und denselben endlichen Wert zu erhalten. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Fubini anzuwenden, obwohl f nicht absolut integrierbar ist (∫|f| = ∞), kann zu unterschiedlichen oder divergenten iterierten Integralen führen; bei lediglich bedingt integrierbaren Funktionen existieren die iterierten Integrale manchmal, sind aber nicht gleich, weshalb das Vertauschen des Integrationsorders unzulässig ist. ## Konsequenz Konsequenz Wenn die Voraussetzungen erfüllt sind, kann ein mehrfaches Integral in eindimensionale Iterationsintegrale zerlegt werden, der Integrationsorder beliebig vertauscht werden, und eindimensionale Werkzeuge innerhalb der Iterationen angewandt werden. ## Umkehrung Umkehrung Bei Wegfall der absoluten Integrierbarkeit tritt Tonellis Theorem für nichtnegative Funktionen in den Vordergrund: dort gilt die Gleichheit der iterierten Integrale auch ohne endliche Integrabilität; ohne Nichtnegativität oder absolute Integrierbarkeit kann die Gleichheit scheitern. ## Abgrenzung Abgrenzung Die übliche Formulierung setzt σ-endliche Maßräume und die Bedingung ∫|f|<∞ voraus; nicht-messbare Funktionen, nicht-σ-endliche Räume oder Funktionen mit ∫|f|=∞ liegen außerhalb des Geltungsbereichs. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannungen bestehen zwischen Fubini und Tonelli (nichtnegativer Fall) sowie zwischen absoluter und bedingter Integrabilität; die Grenze absolut/bedingt ist hier die konkurrierende Bedeutung. ## Synthese Synthese Fubinis Theorem stellt fest, dass unter absoluter Integrabilität und üblichen maßtheoretischen Voraussetzungen das Mehrfachintegral mit den Iterationsintegralen übereinstimmt und das Vertauschen der Integration rechtfertigt.