## [P-Variation](/de/node/62565) Definition Für ein reelles Exponent p>0 ist die p-Variation einer Funktion auf einem Intervall das Supremum über alle endlichen Zerlegungen der Summen der p-ten Potenzen der absoluten Zuwächse; sie quantifiziert Rauheit mit einem Parameter p, der kleine und große Sprünge unterschiedlich gewichtet. ## Prinzip Prinzip Die p-Variation parametrisiert Variation durch einen Exponenten: kleinere p verstärken viele kleine Inkremente, größere p betonen große Sprünge; Endlichkeit der p-Variation ist eine skalenabhängige Regularitätseigenschaft zur Kontrolle von wegweisen Integralen und Rauheit. ## Demonstration Demonstration Für f(x)=x auf [0,1] ist die p-Variation gleich 1^p=1 für jedes p>0, da alle Inkremente zu 1 aufsummiert werden und die Potenzierung diese Summe erhält; Treppenfunktionen konzentrieren Variation auf Sprünge, deren p-Variation die Sprunggrößen hoch p wiedergibt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die p-Variation mit einer L^p-Norm über das Intervall zu verwechseln oder zu behaupten, p-Variation sei unter Reparametrisierung invariant, während Inkremente parametrisationsabhängig sind, führt zu Fehlanwendungen in stochastischen oder geometrischen Zusammenhängen. ## Konsequenz Konsequenz Endliche p-Variation liefert quantitative Kontrolle der Unregelmäßigkeit eines Pfads: sie induziert Einbettungen in Hölder-Räume und bestimmt, welche Integrationstheorien anwendbar sind (beispielsweise Young-Integration bei passenden ergänzenden p-Variationen). ## Umkehrung Umkehrung Bei formaler Umkehr liefert p→1 die Totalvariation (Summierung absoluter Inkremente), während p→∞ sich auf den größten Einzelprung konzentriert (esssup der Inkremente); diese Extreme kontrastieren kumulative gegenüber extremenorientierter Rauheit. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert für Funktionen auf geordneten Domänen; empfindlich gegenüber der Wahl von p und gegenüber Parametrisierung; nicht gleichzusetzen mit Sobolev-Seminormen, L^p-Normen oder Konzepten, die Mittelung statt supremaler Summen verwenden. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Die p-Variation steht nahe an Begriffen wie Hölder-Regularität und Besov-Seminormen: Alle messen Regularität, unterscheiden sich jedoch in der Aggregation (supremale Partitionssummen vs. punktweise Hölder-Schranken vs. frequenzbasierte Normen), sodass ein Pfad verschiedene Charakterisierungen erhalten kann. ## Synthese Synthese Die p-Variation ist eine eindimensionale, parameterabhängige Familie supremaler Maße für Inkremente einer Funktion: Durch Potenzieren vor der Summation interpoliert sie zwischen kumulativer Gesamtänderung und extremer Sprungerkennung und bietet so eine einstellbare Sicht auf Pfadrauheit.