## [Totalvariation](/de/node/62563) Definition Das Supremum über alle endlichen Zerlegungen eines reellen Intervalls der Summen der absoluten Zuwächse einer reellwertigen Funktion; es misst die kumulative Oszillation der Funktion auf diesem Intervall und ist genau dann endlich, wenn die Funktion beschränkte Variation besitzt. ## Prinzip Prinzip Die Totalvariation erfasst das Verhalten einer Funktion durch Aufsummieren aller absoluten Änderungen: sie lässt Vorzeichenkürzungen nicht zu und misst daher die gesamte Oszillation statt der resultierenden Verschiebung. ## Demonstration Demonstration Für f(x)=x auf [0,1] ist die Totalvariation 1, weil jede Zerlegung Summen von 1 ergibt; für f(x)=|x| auf [-1,1] ist die Totalvariation 2, was zeigt, wie monotone Teilstücke addieren. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Totalvariation mit der Nettoänderung (f(b)−f(a)) gleichzusetzen oder die eindimensionale Definition unverändert auf vektorwertige Pfade ohne Normwahl anzuwenden, führt zu fehlerhaften Aussagen über Regularität. ## Konsequenz Konsequenz Eine reelle Funktion mit endlicher Totalvariation besitzt eine Jordan-Zerlegung als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen, hat nur Sprungstetigkeiten mit beschränkter Gesamthöhe und induziert ein beschränktes Stieltjesmaß zum Integrieren gegen stetige Funktionen. ## Umkehrung Umkehrung Statt absolute Zuwächse zu summieren, betrachtet man die netto summierten (signierten) Änderungen, die Oszillationen auslöschen; diese Umkehr misst Verschiebung, verliert jedoch die von der Totalvariation erfasste Rauheit. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert für reellwertige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall (oder allgemein geordneten Domänen); schließt naive Erweiterungen auf mehrdimensionale Bereiche ohne Normwahl oder auf Distributionen ohne zusätzliche Struktur aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der Ausdruck „Variation“ wird auch für statistische Varianz oder für Variationen in der Variationsrechnung verwendet; die Totalvariation meint hier spezifisch die kumulative Summe absoluter Zuwächse, nicht Streuung um einen Mittelwert oder funktionale Ableitungen. ## Synthese Synthese Totalvariation ist das Supremum kumulativer absoluter Änderungen einer reellen Funktion auf einem Intervall: eine nicht-aufhebende Messung der Oszillation, die die Variation-beschränkte Regularität kennzeichnet und Zerlegungen sowie maßtheoretische Konstruktionen ermöglicht.