##  [Mackeys Imprimitivitätssatz](/de/node/62495) 

 Definition

Ein Strukturtheorem in der Darstellungstheorie lokal-kompakter Gruppen, das unitäre induzierte Darstellungen von einem abgeschlossenen Untergruppe durch Imprimitivitätssysteme (projektionswertige Maße) auf dem homogenen Raum charakterisiert und eine Äquivalenz zwischen bestimmten Darstellungskategorien herstellt; es verknüpft induzierte Darstellungen mit kovarianten Darstellungen von C*-Dynamiksystemen, die vom homogenen Raum ausgehen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Induktion unitärer Darstellungen lässt sich durch ein kompatibles projektionswertiges Maß (ein Imprimitivitätssystem) auf G/H codieren; die ordnende Idee ist, dass transitive G-Räume und ihre projektionswertigen Maße induzierte unitäre Darstellungen bis auf Äquivalenz klassifizieren.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für lokalkompaktes G und abgeschlossenes H wirkt die von einer unitären Darstellung σ von H induzierte Darstellung durch Linkstranslationen auf Schnitten eines Hilbertraumbündels über G/H; der Satz identifiziert diese induzierte Darstellung mit einer Darstellung von G zusammen mit einem projektionswertigen Maß auf G/H, das Kovarianzrelationen erfüllt, z. B. ergibt die reguläre Darstellung auf L^2(G/H) sich aus der trivialen Darstellung von H.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Satz außerhalb seiner Hypothesen anwenden (nicht-lokalkompakte Gruppen, nicht-unitäre Darstellungen, oder die messbare Struktur und Modulfunktion vernachlässigen) oder algebraische Induktion behandeln, ohne die analytischen Aspekte (Maße, Integrierbarkeit) zu berücksichtigen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet ein mächtiges Klassifikationswerkzeug: induzierte unitäre Darstellungen werden durch geometrische Daten auf homogenen Räumen beschrieben, was Zerlegungen, imprimitivitätsbasierte Äquivalenzen von Kategorien und Verbindungen zu C*-Kreuzprodukten und Mackeys Maschine in der ergodischen Theorie und nichtkommutativen Harmonischen Analyse erleichtert.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Fehlt ein Imprimitivitätssystem, das die Kovarianz erfüllt, so lässt sich eine Darstellung nicht als von einem Untergruppe induziert realisieren; äquivalent ist nicht jede unitäre Darstellung induziert von einem echten Untergruppe — Induktion ist eine eingeschränkte Konstruktion.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert lokalkompakte Gruppen, abgeschlossene Untergruppen, unitäre Darstellungen auf Hilberträumen und messbare/projective Strukturen; es gilt nicht unmittelbar für rein algebraische Induktion, nicht-unitäre Banachraumdarstellungen oder Gruppen ohne brauchbares Haar-Maß.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht in Beziehung zu Frobenius-Reziprozität und zur Theorie der induzierten Darstellungen in rein algebraischen Kontexten; die Spannung liegt zwischen analytischer (messbarer, unitärer) Induktion, die durch Imprimitivität erfasst wird, und algebraischer Induktion ohne Maßkovarianz.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Mackey-Imprimitivitätssatz besagt, dass unitäre Darstellungen, die von einem abgeschlossenen Untergruppe induziert sind, genau diejenigen sind, die ein kompatibles projektionswertiges Maß auf dem homogenen Raum besitzen; er fasst Induktion als geometrische Daten auf G/H zusammen und liefert kategoriale Äquivalenzen, die in Zerlegung und Kreuzprodukt-Theorie nützlich sind.