##  [Shapiros Lemma](/de/node/62491) 

 Definition

Eine Isomorphie in der Gruppenkohomologie, die die Kohomologie eines induzierten Moduls mit der Kohomologie über dem induzierenden Untergruppe identifiziert: Für H ≤ G und ein H-Modul M gilt H^n(G, Ind_H^G M) ≅ H^n(H, M) für alle n (unter den entsprechenden Voraussetzungen zu Modulen und Topologie).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Adjungiertheit von Induktion und Einschränkung liegt dem Lemma zugrunde: Induktion ist links-(oder rechts-)adjungiert zur Einschränkung, sodass die Kettenkomplexe des induzierten Moduls auf Ketten des Untergruppe zusammenfallen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Berechnung der Kohomologie eines induzierten Permutationsmoduls: Ist M ein H-Modul und Ind_H^G M die Menge der Funktionen G → M mit der üblichen Äquivarianz, liefert die explizite Kochen-Abbildung ein Isomorphismus H^n(G, Ind_H^G M) → H^n(H, M); konkret identifizieren sich Kochen, die auf Vertreter von Nebenklassen gestützt sind, mit H-Kochen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das Lemma anwenden, ohne zu prüfen, dass Induktionskonstruktion und Kohomologietheorie zur betrachteten Kategorie passen (z. B. diskrete Induktion mit kontinuierlicher Kohomologie profiniter Gruppen vermischen oder Koinduktion statt Induktion verwenden, wenn die Voraussetzungen anders sind).

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Shapiros Lemma überträgt kohomologische Rechnungen von einer großen Gruppe auf eine kleinere Untergruppe und liefert Kompatibilitäten für Spektralsequenzen und lange exakte Folgen; es ist ein zentrales rechnerisches und konzeptionelles Werkzeug in der Gruppenkohomologie und der galoisschen Kohomologie.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Restriktions- oder Inflationsabbildungen gehen in die entgegengesetzte Richtung und sind im Allgemeinen keine Isomorphismen; die umgekehrte Behauptung — die Kohomologie von G bestimme die von H ohne Induktion — ist ohne zusätzliche Struktur falsch.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt im Rahmen der Gruppenkohomologie mit wohldefinierter Induktion (diskrete, glatte oder kontinuierliche Module je nach Kontext); für topologische Gruppen, derivierte Kontexte oder bei Verwendung von Koinduktion sind Modifikationen erforderlich.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht nahe bei Frobenius- oder Frobenius-Reziprozität und wird manchmal Eckmann–Shapiro genannt; die Spannung liegt in verschiedenen Adjungiertheiten (Induktion vs. Koinduktion) und in verschiedenen Kohomologietheorien, die kompatible Voraussetzungen fordern.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Shapiros Lemma besagt formal, dass Induktion auf Kohomologieebene unschädlich ist: Ein Modul nach oben zu induzieren und dann Kohomologie zu nehmen, ergibt die Kohomologie des Untergruppe und macht den Adjungiertheitsmechanismus für Rechenübertragungen nutzbar.