## [Galois-Korrespondenz](/de/node/62482) Definition Eine bijektive, ordnungsumkehrende Korrespondenz zwischen den Zwischenkörpern einer endlichen Galoiserweiterung und den Untergruppen ihrer Galoisgruppe, realisiert durch Zuordnung einer Untergruppe zu ihrem Fixkörper und eines Zwischenkörpers zur Untergruppe der Automorphismen, die ihn fixieren. ## Prinzip Prinzip Das ordnende Prinzip ist Fixkörper ↔ Untergruppe: Untererweiterungen entsprechen Untergruppen durch Fixpunktbildung, normale Untererweiterungen entsprechen normalen Untergruppen, wodurch im galoisschen (endlichen, separablen, normalen) Fall eine Anti-Isomorphie der Verbände entsteht. ## Demonstration Demonstration Beispiel: Für eine endliche Galoiserweiterung K/F gilt: Ist H ≤ Gal(K/F), so ist der Fixkörper K^H eine Zwischenverlängerung; umgekehrt hat jedes Zwischenfeld E die Untergruppe Gal(K/E) als entsprechendes Subobjekt. Konkret ergibt sich bei quadratischen Erweiterungen eine Bijektion zwischen eindeutigen Zwischenfeldern und Untergruppen der Ordnung zwei. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die vollständige bijektive Korrespondenz auf nicht-galoissche Erweiterungen anzuwenden oder Trennbarkeits-/Normalitätsbedingungen zu übersehen; etwa zu versuchen, Untergruppen und Zwischenfelder beliebiger algebraischer Erweiterungen direkt zuzuordnen führt zu falschen Ergebnissen. ## Konsequenz Konsequenz Richtige Anwendung wandelt feldtheoretische Probleme in gruppentheoretische um und umgekehrt: Berechnung von Zwischenfeldern, Normalitätsprüfungen und Fragen der Auflösbarkeit lassen sich durch Untersuchung von Untergruppen der Galoisgruppe behandeln. ## Umkehrung Umkehrung Im umgekehrten Fall (nicht-galoissche Erweiterung) existiert keine saubere Bijektion: Zwischenfelder und Untergruppen korrelieren nicht zwangsläufig, und die Verbandsstrukturen können stark abweichen; stattdessen arbeitet man mit Abschlussoperationen oder mit der Galoisgruppe der Normalhülle. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für endliche galoissche Erweiterungen (äquivalent zu endlich, separabel, normal). Verallgemeinerungen existieren (unendliche Galoistheorie mit profinen Gruppen, Behandlung inseparabler Erweiterungen mit Vorsicht), doch die einfache endliche Bijektion ist nicht auf beliebige Erweiterungen anwendbar. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der Begriff steht in Nähe zur allgemeineren ordnungstheoretischen Galois-Verbindung; die Spannung liegt zwischen der algebraischen, bijektiven Galoiskorrespondenz in der Körpertheorie und abstrakten Galois-Verbindungen, die in anderen Bereichen nicht bijektiv sein müssen. ## Synthese Synthese Die Galois-Korrespondenz stellt eine präzise Anti-Isomorphie zwischen dem Verbands der Zwischenkörper einer galoisschen Erweiterung und dem Verband der Untergruppen ihrer Galoisgruppe dar und ermöglicht die Übersetzung struktureller Fragen über Erweiterungen in gruppentheoretische Begriffe und zurück.