## [Erzeugte Kongruenz](/de/node/62450) Definition Die kleinste Kongruenzrelation auf einer Algebra, die ein bestimmtes Paar oder eine bestimmte Menge von Elementen enthält; äquivalent dazu: die von diesen Elementen erzeugte Kongruenz unter Reflexivität, Symmetrie, Transitivität und Verträglichkeit mit den Operationen. ## Prinzip Prinzip Bildung der kleinsten äquivalenzrelation, die mit jeder Operation verträglich ist und die gewählten Erzeuger identifiziert; die Abschließung unter den Algebraoperationen liefert die principal Kongruenz. ## Demonstration Demonstration Bei Gruppen ist die von (a,b) erzeugte Kongruenz der Kern des Homomorphismus, der a auf b abbildet, bzw. die normal erzeugte Untergruppe ⟨a b^{-1}⟩. In der Universalalgebra konstruiert man die Kongruenz als die transitive, verträgliche Abschließung von {(a,b)}. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die principal Kongruenz mit der bloßen Äquivalenzabschließung eines Paares zu verwechseln ohne Verträglichkeit zu erzwingen, erzeugt Relationen, die keine Kongruenzen sind und nicht zu wohldefinierten Faktoralgebren führen. ## Konsequenz Konsequenz Die principal Kongruenz liefert den kanonischen Quotienten, in dem die angegebenen Elemente gleichgesetzt sind; sie ist ein grundlegendes Werkzeug zur Beschreibung von Kernen von Homomorphismen und erzeugten Kongruenzen. ## Umkehrung Umkehrung Die triviale Kongruenz (nur identische Paare) und die universelle Kongruenz (alle Paare) bilden die Extreme; die Umkehrung des Erzeugungsprozesses führt zu der Vorstellung maximaler Kongruenzen, die ein gegebenes Paar nicht identifizieren. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für algebraische Strukturen, in denen Kongruenzen (äquivalenzrelationen, die mit den Operationen verträglich sind) definiert sind; sie gilt nicht unmittelbar für rein relationale Strukturen ohne Operationen oder für Konstruktionen, die zusätzliche Abschlüsse (z. B. topologische) erfordern. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Verwandte Begriffe sind ‚Äquivalenzabschluss‘ (ignoriert Verträglichkeit) und ‚vom Satz erzeugtes Kongruenzgitter‘ (mehrgeneratorsicht) ; principal Kongruenz ist die minimale Kongruenz, die von einem bestimmten Paar oder einer endlichen Menge erzeugt wird. ## Synthese Synthese Eine principal Kongruenz ist die minimale, operationsverträgliche Äquivalenzrelation, die durch das Erzwingen der Gleichheit bestimmter Elemente entsteht und den kleinsten Quotienten realisiert, in dem diese Elemente identisch sind.