## [Freie Algebra](/de/node/62440) Definition Eine Algebra in gegebener Signatur und Varietät, erzeugt von einer Menge freier Erzeuger ohne definierende Relationen außer den durch Signatur und Varietät vorgegebenen Identitäten; äquivalent ein Objekt F(X) mit Einbettung der Erzeugermenge X, so dass jede Abbildung X → A in eine Algebra A derselben Varietät eindeutig zu einem Homomorphismus F(X) → A erweitert wird. ## Prinzip Prinzip Die universelle Abbildungseigenschaft: Freisein ist durch das Adjunktsein links zum Vergissfunktor nach Set gekennzeichnet, daher werden Homomorphismen aus der freien Algebra durch die Bilder der Erzeuger eindeutig bestimmt. ## Demonstration Demonstration In der Varietät der Gruppen ist die freie Gruppe auf einem Erzeuger isomorph zu den ganzen Zahlen unter Addition; in der Varietät unitaler assoziativer Algebren über einem Körper ist die freie Algebra auf X die nichtkommutative Polynom-/Tensoralgebra über X. Konkret ist die Termaalgebra zu einer Signatur Σ und Erzeugermenge X die Menge aller aus X gebildeten Σ-Terme. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, jede algebra mit markierter Erzeugermenge sei 'frei', ohne die universelle Erweiterungseigenschaft zu prüfen, oder Freisein unabhängig von Varietät/Signatur anzunehmen (z. B. ein freies Modul fälschlich als freie Algebra zu bezeichnen). ## Konsequenz Konsequenz Für eine freie Algebra F(X) entspricht die Angabe eines Homomorphismus F(X) → A genau der Angabe der Bilder der Erzeuger in X; dies vereinfacht Konstruktionen, da Prüfungen auf Generatoren reduziert werden. Kategorisch liefern freie Algebren linke Adjunkte und steuern Präsentationen. ## Umkehrung Umkehrung Das Faktorisieren einer freien Algebra durch nichttriviale Relationen ergibt eine präsentierte Algebra; die Umkehrung von Freisein ist eine durch Relationen eingeschränkte Algebra, die die eindeutige Erweiterung verliert. ## Abgrenzung Abgrenzung Freisein ist stets relativ zur Signatur und zur Varietät anzugeben; eine in einer Varietät freie Algebra ist in einer anderen möglicherweise nicht frei. Endliche Erzeugbarkeit impliziert nicht Freisein; Freisein ist eine universelle Eigenschaft, nicht nur eine Frage der Mächtigkeit oder Projektivität. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Häufige Verwechslungen bestehen zwischen 'frei' und 'projektiv' sowie zwischen freier Algebra und freiem Modul: Projektivität ist eine Hebeeigenschaft, Freisein eine universelle Abbildungseigenschaft. Man verwechselt auch die Existenz eines linken Adjunkten mit einer expliziten Termkonstruktion. ## Synthese Synthese Die freie Algebra ist die kanonische termbasierte Realisierung einer abstrakten Erzeugermenge in einer Varietät: sie ist die Termaalgebra, die durch die universelle Eigenschaft alle Homomorphismen aus Generatorbildern erzeugt, und deren Quotienten alle präsentierten Algebren der Varietät liefern.