## [Quasivarietät](/de/node/62434) Definition Eine Klasse von Algebren, die durch eine Menge universeller Horn-Sätze axiomatisierbar ist; äquivalent ist es eine Klasse, die unter Teilalgebren, direkten Produkten und Ultraprodukten abgeschlossen ist (und falls erforderlich die triviale Algebra enthält). ## Prinzip Prinzip Algebraische Klassen durch bedingte universelle Identitäten statt durch reine Identitäten charakterisieren; Abschluss unter Teilstrukturen und Produkten sowie Erhaltung unter Ultraprodukten ist das ordnende Prinzip. ## Demonstration Demonstration Die Klasse der torsionsfreien abelschen Gruppen ist durch die Familie universeller Horn-Sätze (n·x = 0) → x = 0 für jedes natürliche n>0 axiomatisierbar, somit eine Quasivarietät, aber keine Varietät. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu vermuten, eine Quasivarietät sei wie eine Varietät unter homomorphen Bildern abgeschlossen; homomorphe Bilder müssen nicht in einer Quasivarietät verbleiben, sofern nicht zusätzliche Axiome dies erzwingen. ## Konsequenz Konsequenz Quasivarietäten besitzen relative freie Algebren (freie Objekte in der Klasse) und sind stabil unter modelltheoretischen Konstruktionen wie Ultraprodukten; sie bilden genau die Modellscharen universeller Horn-Theorien. ## Umkehrung Umkehrung Eine Varietät ist die stärkere Erscheinungsform, wenn die Axiome als reine Gleichungen formuliert werden können; Varietäten sind Quasivarietäten, die zusätzlich unter homomorphen Bildern abgeschlossen sind. ## Abgrenzung Abgrenzung Begrenzt auf Klassen, die durch universelle Horn-Sätze definierbar sind; schließt Eigenschaften aus, die existenzielle Axiome oder allgemeinere erste-Ordnung-Bedingungen erfordern und die Abschlüsse unter Teilalgebren oder Produkten verletzen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Zwischen Quasivarietät und Pseudovarietät: Quasivarietäten erlauben unendliche Algebren und Abschluss unter Ultraprodukten, während Pseudovarietäten sich auf endliche Algebren und Abschluss unter endlichen Produkten und Quotienten beschränken, was unterschiedliche Anwendungen zur Folge hat. ## Synthese Synthese Eine Quasivarietät ist die modelltheoretische Abschlussklasse, die durch universelle Horn-Axiome erzeugt wird: sie verallgemeinert Varietäten durch bedingte Einschränkungen, liefert relative freie Objekte und ist das natürliche semantische Zuhause universeller Horn-Theorien.