## [Gleichungstheorie](/de/node/62430) Definition Eine prädikatenlogische Theorie in einer festen algebraischen Signatur, deren Axiome ausschließlich universell quantifizierte Gleichungen zwischen Termen sind und die gegenüber der Folgerungsrelation der Gleichungslogik abgeschlossen ist. ## Prinzip Prinzip Algebraische Struktur allein durch Identitäten beschreiben; Abschluss unter Substitution, Reflexivität, Symmetrie, Transitivität der Gleichheit und Kongruenzregeln liefert alle gleichunglichen Konsequenzen. ## Demonstration Demonstration Die Klasse der Monoide wird durch die Gleichungstheorie mit einem binären Symbol · und einer Konstante e axiomatisiert durch (x·y)·z = x·(y·z), e·x = x, x·e = x; jedes Modell, das diese Identitäten erfüllt, ist ein Monoid. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Theorie, die Existenzquantoren verlangt (zum Beispiel 'für jedes Element existiert ein Inverses'), als gleichungstheoretisch bezeichnen, obwohl das Inverse nicht als Funktionssymbol eingeführt ist; oder nicht-gleichungstheoretische Axiome wie Ordnungsrelationen hinzunehmen. ## Konsequenz Konsequenz Die Modellklasse ist eine Varietät: abgeschlossen unter homomorphen Bildern, Teilalgebren und beliebigen direkten Produkten; Gleichungstheorien besitzen freie Algebren und syntaktische Vollständigkeit bezüglich gleichunglicher Folgerung. ## Umkehrung Umkehrung Eine allgemeine prädikatenlogische Theorie, die Relationen, Existenzquantoren oder Disjunktionen verwendet — eine solche Theorie ist nicht gleichungstheoretisch, da ihre Axiome sich nicht ausschließlich als universelle Gleichungen schreiben lassen. ## Abgrenzung Abgrenzung Beschränkt auf Signaturen mit Funktionssymbolen und Axiome, die universell quantifizierte Gleichungen sind; schließt Axiome aus, die Existenz behaupten, Ungleichheiten, Ordnungen oder relationale Einschränkungen, die nicht identitätsäquivalent sind. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Zwischen Gleichungstheorien und universellen Horn-Theorien: Jede Gleichungstheorie ist eine universelle Horn-Theorie, aber universelle Horn-Theorien können Implikationen zwischen Gleichungen ausdrücken, die nicht auf reine Identitäten reduzierbar sind. ## Synthese Synthese Eine Gleichungstheorie ist das syntaktische Paket von Identitäten, das eine Varietät definiert: die rein gleichungsbasierte Spezifikation, deren Modelle eine nach Homomorphismen, Teilalgebren und Produkten abgeschlossene Klasse bilden und die freie Objekte aus syntaktischen Termen besitzt.