##  [Cayley–Hamilton-Satz](/de/node/62396) 

 Definition

Die Aussage, dass jede quadratische Matrix über einem kommutativen Ring (insbesondere über einem Körper) ihr eigenes charakteristisches Polynom erfüllt: ist p(λ)=det(λI−A), so gilt p(A)=0 bei Einsetzen der Matrix für λ.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das Einsetzen der Matrix in ihr charakteristisches Polynom ergibt die Nullmatrix, weil das Polynom die durch die Matrix repräsentierte lineare Abbildung annulliert.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine 2×2-Matrix A = [[a,b],[c,d]] ist p(λ)=λ^2−(a+d)λ+(ad−bc); der Cayley–Hamilton-Satz besagt p(A)=A^2−(a+d)A+(ad−bc)I = 0, eine explizite Matrixidentität, die sich direkt nachrechnen lässt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das Einsetzen von A in ein Polynom mit Koeffizienten, die nicht mit A kommutieren (nichtkommutativer Ring), ohne Zentralität zu prüfen, oder Verwechslung der Auswertung eines skalaren Polynoms in A mit punktweiser Substitution von Skalaren.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht, höhere Potenzen von A als Polynome geringeren Grades in A auszudrücken, bietet eine Methode zur Berechnung von Matrixfunktionen und Inversen (falls invertierbar) durch polynomiale Reduktion und verbindet charakteristisches und minimales Polynom.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung gilt nicht automatisch: Ein Polynom q mit q(A)=0 ist nicht notwendigerweise das charakteristische Polynom; es muss das minimale Polynom teilen, das wiederum das charakteristische teilt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Der klassische Satz gilt für Matrizen über kommutativen Ringen und Körpern; für Matrizen über nichtkommutativen Ringen ist Vorsicht geboten hinsichtlich Multiplikationsordnung und Zentralität der Koeffizienten. Er setzt ein wohldefiniertes charakteristisches Polynom voraus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen charakteristischem Polynom und minimalem Polynom: Cayley–Hamilton garantiert Annullierung durch das charakteristische Polynom, doch das minimale Polynom ist oft das feinere Invariant für das Operatorverhalten.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Cayley–Hamilton-Satz verbindet determinantielle Invarianten mit operator-theoretischer Annullierung: das charakteristische Polynom annihiliert die Matrix, was die algebraische Reduktion von Potenzen und die Berechnung von Matrixfunktionen ermöglicht.