##  [Socle](/de/node/62385) 

 Definition

Der Socle (Sokel) eines Moduls oder Rings ist die Summe aller minimalen nichtverschwindenden Untermoduln (bzw. minimalen Ideale); er ist das größte semisimple Teilobjekt im Modul und entspricht der direkten Summe aller einfachen Untermoduln.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Minimale nichtverschwindende Untermoduln sind einfach; ihre Summe ergibt ein maximal semisimpel Untermodul, denn das Hinzufügen weiterer einfacher Untermoduln bleibt semisimplizierend; der Socle sammelt alle einfachen Bestandteile an der 'Basis' des Moduls.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine endlichdimensionale Algebra über einem Körper ist der Socle des regulären Moduls die Summe aller einfachen linken Ideale; für k[x]/(x^n) ist der Socle der von x^{n−1} erzeugte Unterraum, ein eindimensionales einfaches Untermodul.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Socle mit dem Radikal zu verwechseln oder ihn mit dem Top (dem maximal semisimplen Quotienten) eines Moduls gleichzusetzen; fälschlicherweise anzunehmen, der Socle sei stets nicht null, obwohl es Module ohne einfache Untermoduln gibt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Kenntnis des Socle hilft bei der Bestimmung von Extensionsgrupppen, projektiven Hüllen und Loewy-Schichten; ein großer Socle erleichtert oft die Klassifikation, da er sofort semisimple Summanden liefert und die Modulstruktur einschränkt.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die duale Vorstellung ist der Radikal bzw. das Top: während der Socle die minimalen einfachen Untermoduln am Boden sammelt, ist das Top der maximale semisimple Quotient oben; ein verschwindender Socle bedeutet, dass keine einfachen Untermoduln vorhanden sind.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert in abelschen Kategorien, in denen einfache Objekte und direkte Summen existieren, typischerweise bei Moduln über Ringen und Darstellungen von Algebren; in Kontexten ohne Begriff einfacher Objekte oder ohne direkte Summen ist er nicht sinnvoll.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannungen bestehen im Gegensatz zwischen Radikal und Top: beide beziehen sich auf Semisimplifizierung, stehen aber in entgegengesetzten Positionen innerhalb einer Filtration; zudem besteht Nähe zu injektiven Hüllen, da der Socle in diese hineinjiziert.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Socle ist das maximale semisimple Teilobjekt, das durch Summation aller einfachen Untermoduln entsteht; er bildet die fundamentale 'unterste Schicht' der semisimplen Zerlegung eines Moduls und lenkt strukturelle wie homologische Betrachtungen.