## [Multiplizität](/de/node/62373) Definition Eine numerische Invariante (häufig Hilbert–Samuel-Multiplizität), die den führenden Koeffizienten eines Hilbert-Polynoms bzw. die asymptotische Wachstumsrate der Längen von M/I^nM für ein m-primäres Ideal I in einem lokalen Ring misst; sie quantifiziert lokale algebraische Konzentration oder Ordnungsstärke einer Singularität. ## Prinzip Prinzip Die Hilbert–Samuel-Funktion n ↦ Länge(M/I^nM) für große n auswerten; der führende Polynomterm, normiert durch die Fakultät der Dimension, ergibt die Multiplizität. Multiplizität erkennt, wie ‚dicht‘ ein Schema oder Modul an einem Punkt ist. ## Demonstration Demonstration In einem regulären lokalen Ring ist die Multiplizität des maximalen Ideals 1. Für die ebenen Kurvensingularität y^2 - x^3 hat der lokale Ring Multiplizität 2 (niedrigster Grad der Terme); Knoten und Spitze haben unterschiedliche Multiplizitäten je nach Singularitätsordnung. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Hilbert–Samuel-Multiplizität mit der algebraischen Vielfachheit einer Polynomwurzel oder mit Schnittvielfachheiten zu verwechseln, ohne die Voraussetzungen zu prüfen, führt zu Fehlern. ## Konsequenz Konsequenz Multiplizität steuert Equireguläritätsfragen, bestimmt führende Asymptotik von Längen- und Gradzählungen und erscheint in Kriterien für Regularität und Cohen–Macaulay-Eigenschaften: Multiplizität 1 deutet oft auf Regularität hin. ## Umkehrung Umkehrung Umgekehrt charakterisieren Minimalitätsbedingungen der Multiplizität spezielle Klassen von Singularitäten statt der allgemeinen Konzentrationsmessung. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert wenn Hilbert- oder Hilbert–Samuel-Polynome existieren: typischerweise für endlich erzeugte Module über noetherschen lokalen Ringen mit I-primären Idealen. Sie ist kein naiver Wurzelzähler und hängt von Modul und Ideal ab. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Multiplizität steht im Spannungsverhältnis zu Schnittvielfachheiten, algebraischen Wurzelvielfachheiten und Länge; alle messen Redundanz, jedoch unter unterschiedlichen Endlichkeits- und geometrischen Voraussetzungen. ## Synthese Synthese Multiplizität ist der führende asymptotische Koeffizient, der das Wachstum von Längen oder Graden nahe einem Punkt erfasst; als verfeinertes numerisches Invarinat diagnostiziert sie Singularitätsstärke und steht in Beziehung zu Dimension und Regularität.