## [Höhe Eines Primideals](/de/node/62371) Definition Das Supremum der Längen n streng wachsender Ketten von Primidealen p0 ⊊ p1 ⊊ ... ⊊ pn, die im gegebenen Primideal p enden; äquivalent zur lokalen Krull-Kodimension von p und dient als lokales Maß der Dimension. ## Prinzip Prinzip Zähle die maximale Anzahl strenger Inklusionen von Primidealen, die in p enden. Die Höhe ist eine ordnungstheoretische, lokale Darstellung der Dimension und zeigt, wie viele unabhängige Primschritte unter p liegen. ## Demonstration Demonstration In k[x,y] mit k einem Körper hat ein maximales Ideal (x-a,y-b) Höhe 2, da man Ketten wie 0 ⊊ (f) ⊊ (x-a,y-b) mit bis zu zwei strengen Inklusionen erhält, entsprechend der Krull-Dimension 2; das Zeroideal hat in einem Integritätsbereich meist Höhe 0. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Höhe mit der Dimension des Quotientenrings R/p oder mit der Kodimension in einer Einbettung zu verwechseln kann irreführend sein: Höhe(p) ist die Kodimension von p in Spec(R), nicht notwendigerweise die Einbettungsdimension. ## Konsequenz Konsequenz Höhen ordnen Primideale nach lokaler Dimensionalität; maximale Ideale realisieren die Krull-Dimension des Rings. Die Kontrolle von Höhen ist wesentlich in der Dimensionstheorie, der Primzerlegung und Regularitätskriterien. ## Umkehrung Umkehrung Das duale Konzept ist die Dimension der Lokalisierung bei p (dim R_p), die Ketten von Primidealen misst, die in p enthalten sind; der Vergleich von Höhe(p) und dim R/p liefert komplementäre lokale und globale Perspektiven. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Primideale in kommutativen Einheitsringen; in nichtkommutativen Kontexten verhalten sich Primketten oft anders. Die Höhe ist eine Eigenschaft von Primidealen, nicht unmittelbar von beliebigen Idealen ohne Bezug auf assoziierte Primideale. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Höhe steht im Spannungsfeld mit Begriffen wie Kodimension, Krull-Dimension und Transzendenzgrad in geometrischen Zusammenhängen; dieselbe Zahl kann je nach Kontext unterschiedliche algebraische oder geometrische Bedeutungen tragen. ## Synthese Synthese Die Höhe eines Primideals misst die maximal mögliche Anzahl strenger Priminklusionen unter diesem Ideal und dient als punktueller Dimensionsindikator im Spektrum, der algebraische Kettenbedingungen mit geometrischer Kodimension verknüpft.