##  [Ordnung Eines Elements](/de/node/62362) 

 Definition

Die kleinste positive ganze Zahl n, sodass das n-fache Produkt (oder die n-fache Summe in additiver Notation) eines Elements in einer Gruppe das Identitätselement ergibt; existiert keine solche positive ganze Zahl, so hat das Element unendliche Ordnung.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Ordnung misst die kleinste positive Periode der Iteration eines Elements unter der Gruppenoperation und erzeugt eine zyklische Untergruppe, deren Kardinalität bei endlicher Ordnung gleich dieser Ordnung ist.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der additiven Gruppe Z/12Z hat die Restklasse von 3 die Ordnung 4, weil 4·3 ≡ 0 (mod 12); in der symmetrischen Gruppe S3 hat eine Transposition Ordnung 2 und ein 3-Zyklus Ordnung 3.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Verwechslung der Ordnung mit dem Index oder mit der Ordnung der ganzen Gruppe; etwa die Annahme, dass die Ordnung jedes Elements die Gruppenordnung teilt, ohne zu prüfen, dass die Gruppe endlich ist, oder Verwendung additiver Notation bei einer multiplikativ geschriebenen Gruppe.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Kenntnis der Ordnung eines Elements bestimmt die Struktur der von ihm erzeugten zyklischen Untergruppe, schränkt mögliche Homomorphismen von zyklischen Gruppen ein und begründet Aussagen wie: Hat g Ordnung n, so hat g^k Ordnung n/ gcd(n,k).

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung sieht Elemente danach, dass sie nicht zur Identität zurückkehren: Elemente unendlicher Ordnung wiederholen sich nie, während Torsionselemente (endliche Ordnung) schließlich zurückkehren; die Umkehrung hebt den qualitativen Unterschied zwischen torsionsbehaftetem und torsionsfreiem Verhalten hervor.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert in der Gruppentheorie für Gruppenelemente; gilt nicht unmittelbar für nichtgruppalen binären Strukturen, für Elemente von Halbgruppen ohne Inverse oder für Transformationen, bei denen Iteration nicht zu einer periodischen Identität führt.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen 'Ordnung eines Elements' und 'Ordnung einer Gruppe' oder 'Index einer Untergruppe' — verwandte, aber verschiedene Maße von Größe und Periodizität, die leicht verwechselt werden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Ordnung eines Elements ist die kleinste positive Periode unter der Gruppenoperation, die zur Identität führt; sie gibt die Größe der erzeugten zyklischen Untergruppe an und steuert Exponentiations- und Iterationseigenschaften.