##  [Basiswechsel](/de/node/62357) 

 Definition

Anwendung einer invertierbaren linearen Abbildung, um Vektoren, multilineare Formen oder lineare Operatoren bezüglich einer anderen gewählten Basis darzustellen; dies ergibt neue Koordinatendarstellungen, die durch die Basiswechselmatrix verbunden sind.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Koordinaten transformieren kontravariant für Vektoren und kovariant für duale Objekte; Matrizen von linearen Operatoren transformieren bei einem Basiswechsel P durch Similarität (P^{-1} A P), wobei intrinsische Eigenschaften (Rang, Eigenwertevielheit, Determinante bis auf Einheiten) invariant bleiben.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In R^2 entspricht der Wechsel von der Standardbasis zu einer um den Winkel θ rotierten Basis dem Multiplizieren von Koordinatenspalten mit der Rotationsmatrix R(θ); die Matrix eines linearen Operators in der rotierten Basis ist R(θ)^{-1} A R(θ).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Einen Basiswechsel so aufzufassen, dass er die intrinsische Wirkung eines Operators ändert statt nur seine Darstellung; das Nicht-Transformieren von Kovektoren, Formen oder koordinatenabhängigen Objekten (z. B. die Dualbasis nicht anzupassen).

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Wahl einer geeigneten Basis kann Berechnungen vereinfachen (sparsame oder kanonische Formen), invariante Unterräume sichtbar machen und kanonische Normalformen (Jordan-, rationale, orthogonale Diagonalisierung) ermöglichen, die Struktur klären und Operationen wie Matrixexponential vereinfachen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Anwendung der inversen Basiswechselmatrix stellt die ursprüngliche Koordinatendarstellung wieder her; die Verkettung von Basiswechseln entspricht der Multiplikation der entsprechenden invertierbaren Matrizen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert eine invertierbare lineare Abbildung (die Basiswechselmatrix muss nichtsingulär sein). Gilt nicht für nichtlineare Koordinatenänderungen oder für Objekte ohne lineare Struktur; bei Ringen, die keine Körper sind, ist besondere Vorsicht geboten, da Invertierbarkeit fehlen kann.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen passiver (Koordinatenänderung) und aktiver (Verschiebung von Vektoren) Sichtweise: dieselben Formeln bedeuten entweder Umbenennung von Koordinaten oder eine tatsächliche Transformation der Objekte. Auch Spannung zwischen Basiswechsel und Similaritätsklassifikation: Similaritätsklassen klassifizieren Matrizen unabhängig von der Basis, während Basiswechsel konkrete Repräsentanten liefern.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Basiswechsel ist die algebraische Operation, lineare Daten mittels einer invertierbaren Matrix in einem anderen Koordinatensystem darzustellen; er bewahrt die intrinsische lineare Struktur und verändert die Darstellung, um rechnerische oder strukturelle Vorteile zu offenbaren.