##  [Homogenisierung](/de/node/62353) 

 Definition

Operation, bei der eine neue Variable (häufig z oder t) hinzugefügt und Terme multipliziert werden, sodass ein Polynom homogen eines festen Gesamtgrades wird und ein homogenes Polynom in erweiterten Variablen entsteht.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Homogenisierung bettet affine Polynome in einen graduierten Ring ein, so dass der Gesamtgrad erhalten bleibt; sie wandelt affine algebraische Daten in projektive um, indem eine projektive Koordinate hinzugefügt wird, und ermöglicht ein einheitliches Gradmanagement sowie projektive Techniken.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für f(x,y) = x^2 + y + 1 vom Grad 2 ist die Homogenisierung zu Grad 2 mit Variable z f_h(x,y,z) = x^2 + y z + z^2. Das homogenisierte Polynom beschreibt den projektiven Abschluss der affinen Kurve, die durch f definiert ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Homogenisieren ohne konsistente Wahl des Zielgrads oder Vergessen, Terme niedrigen Grades anzupassen, führt zu falschen Homogenisierungen; unbedachte Homogenisierung kann zusätzliche Komponenten auf der Unendlichkeitsebene erzeugen und zu Fehlinterpretation führen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Homogenisierung liefert ein homogenes Polynom, das eine projektive Varietät oder den projektiven Abschluss einer affinen Varietät beschreibt und die Verwendung homogener Koordinaten, Gradbetrachtungen und Bezout-artiger Sätze ermöglicht.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Dehomogenisierung: Setzen der Homogenisierungsvariable auf ein von null verschiedenes Skalar (häufig 1), um einen affinen Vertreter in einer gewählten Karte zurückzugewinnen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Hängt von der gewählten Homogenisierungsvariable und dem Zielgrad ab; nicht eindeutig, wenn verschiedene Zielgrade gewählt werden. Funktioniert für Polynome über jedem Koeffizientenring oder -körper, erfordert aber konsistente Behandlung von Koeffizienten und führenden Graden; nicht unmittelbar auf formale Potenzreihen ohne Trunkierung anwendbar.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Homogenisierung als formaler gradierter Einbettung und als geometrischem Übergang zum projektiven Abschluss; auch Spannung zwischen unterschiedlichen Konventionen für die Homogenisierungsvariable und den Zielgrad.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Homogenisierung hebt affine Polynome systematisch zu homogenen Polynomen an, indem eine projektive Koordinate hinzugefügt und Grade angepasst werden; so werden projektive Methoden und konsistente Gradbehandlungen möglich, bei Umkehrbarkeit auf geeigneten affinen Karten.