##  [Berechnung des Normalisators](/de/node/62342) 

 Definition

Ein Verfahren, das den Normalisator N_G(S) = {g in G | gSg^{-1} = S} einer angegebenen Teilmenge oder Untergruppe S in einer übergeordneten Gruppe G berechnet; Ergebnis ist die Untergruppe aller Elemente, die S durch Konjugation auf sich selbst abbilden.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Alle Gruppen­elemente identifizieren, deren Konjugationswirkung die Menge S erhält; dies geschieht durch Prüfung von Konjugationsrelationen oder durch Aufbau von Stabilisatorinformationen in Darstellungen als Permutationsgruppen oder Präsentationen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der symmetrischen Gruppe S4 berechnet man den Normalisator der von der Transposition (1 2) erzeugten Untergruppe. Man bestimmt alle Permutationen g mit g(1 2)g^{-1} = (1 2); der Normalisator ist dann die von (1 2) und den Permutationen, die die Fixpunkte vertauschen, erzeugte Untergruppe der Ordnung 4.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, der Normalisator sei gleich dem Zentralisator (Elemente, die mit jedem Element von S kommutieren), ohne dies zu prüfen; dies versagt, wenn Konjugation die Elemente von S nicht punktweise, sondern nur als Menge permutiert.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bei korrekter Berechnung erhält man die größte Untergruppe von G, in der S normal ist; das erlaubt Quotientenkonstruktionen, Indexberechnungen und Bestimmung der Größen von Konjugationsklassen; außerdem liefert es den Stabilisator von S für die Konjugationswirkung.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt die Elemente zu berechnen, die S unter Konjugation fixieren, berechnet man die Elemente, die S auf eine andere Konjugierte S' abbilden (Transporter); damit verlagert sich der Fokus vom Stabilisator auf den Transporter zwischen Konjugierten.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Geltungsbereich beschränkt auf wohl definierte Gruppenmodelle; die rechnerische Durchführbarkeit hängt von Präsentation, Indexgrößen und davon ab, ob G endlich oder durch eine effektive Darstellung gegeben ist; das Verfahren löst nicht die Normalitätsfrage in nicht dargestellten übergeordneten Gruppen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Normalisator versus Zentralisator versus Stabilisator: Der Normalisator betrifft die mengenweise Erhaltung unter Konjugation, der Zentralisator erfordert punktweises Kommutieren, der Stabilisator ist der allgemeine Begriff einer Gruppenwirkung — Übereinstimmung nur in Sonderfällen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Normalisatorberechnung fasst alle konjugierenden Symmetrien einer Teilmenge S zu einer Untergruppe N_G(S) zusammen; begrifflich ist dies der Stabilisator von S unter Konjugation, konstruiert durch Tests oder Aufbau und dient als größte Umgebung, in der S normal ist.