##  [Loop](/de/node/62318) 

 Definition

Eine Quasigruppe, die ein zweiseitiges neutrales Element e besitzt mit e * a = a * e = a für alle a. Eine Loop muss nicht assoziativ sein, behält jedoch die eindeutige Links- und Rechtsdivision und ein neutrales Element bei.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Identität plus eindeutige Lösbarkeit: Durch Hinzufügen einer Identität zu einer Quasigruppe entsteht ein ausgezeichnetes neutrales Element, wobei die lateinische Eigenschaft erhalten bleibt; die Struktur balanciert Lösbarkeit mit potentieller Nichtassoziativität.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Moufang-Loops: nichtassoziative Loops, die Moufang-Identitäten erfüllen wie (a * b) * (a * c) = a * (b * (a * c)), die etwa in den multiplikativen Systemen der Oktonionen für invertierbare Elemente auftreten.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, eine Loop sei assoziativ, und gruppentheoretische Argumente wie Weglassen von Klammern oder Exponentengesetze anzuwenden, ohne Assoziativität zu prüfen; alle Loop-Identitäten als Gruppenidentitäten zu behandeln ist falsch.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die korrekte Erkennung ermöglicht Division und Identität in algebraischen Manipulationen, die Konstruktion von Loop-Homomorphismen und das Studium spezieller Identitäten (Moufang, Bol), die partielle Assoziativität wiederherstellen und Verbindungen zu alternativen Algebren bieten.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wird das neutrale Element entfernt, gelangt man zurück zur reinen Quasigruppe ohne globales neutrales Element; das Erzwingen vollständiger Assoziativität reduziert das Konzept zur Gruppe.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für algebraische Strukturen mit einem globalen zweiseitigen neutralen Element und eindeutiger zweiseitiger Division; schließt Monoide oder Gruppen nur insofern aus, als die Assoziativität fehlen kann, und schließt partielle Operationen ohne universelle Lösungen aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen 'Loop' und 'Gruppe': Beide besitzen Identitäten und Inverse (mittels Division), aber eine Loop erlaubt nichtassoziatives Verhalten; gegenüber der Quasigruppe fügt die Loop ein ausgezeichnetes neutrales Element hinzu.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Loop ist eine Quasigruppe mit Identität: Sie vereint die eindeutige Lösbarkeit von Divisionen mit einem zweiseitigen neutralen Element und erlaubt algebraische Konstruktionen, die Gruppen lokal nachahmen, während kontrollierte Nichtassoziativität bleibt.