## [Groupoid](/de/node/62314) Definition Eine Kategorie, in der jeder Morphismus invertierbar ist: Objekte bilden eine Klasse, Pfeile zwischen Objekten werden assoziativ zusammengesetzt, jedes Objekt hat eine Identitätspfeil und jeder Pfeil besitzt ein zweiseitiges Inverses. Damit verallgemeinert ein Groupoid die Gruppe durch Zulassen mehrerer Objekte bei Erhalt lokaler gruppenartiger Symmetrie. ## Prinzip Prinzip Die Struktur wird durch lokale Invertierbarkeit organisiert: Komposition und Identitäten erfüllen die kategorischen Axiome, während jeder Morphismus ein Inverses hat, sodass Symmetrie relativ zu Objekten ausgedrückt wird statt global. ## Demonstration Demonstration Das fundamental Groupoid eines topologischen Raums: Objekte sind Punkte, Morphismen sind Homotopieklassen von Wegen zwischen Punkten, Komposition ist Wegkonkatenation, und jede Wegklasse hat ein Inverses durch Umkehrung des Weges. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Ein Groupoid als einzelne Gruppe zu behandeln, indem man die Objektindizierung ignoriert (beispielsweise eine einzige globale Identität annimmt), führt zum Verlust von Information darüber, wie Symmetrien zwischen Objekten variieren. ## Konsequenz Konsequenz Richtige Anwendung liefert eine flexible Symmetrievorstellung, die lokale Isotropie und Transport erfasst; man kann Orbit-Groupoide bilden, Isotropiegruppen an Objekten berechnen und Quotienten konstruieren, die objektabhängige Symmetrie bewahren. ## Umkehrung Umkehrung Eine gewöhnliche Kategorie oder ein Monoid, in dem Morphismen nicht notwendigerweise invertierbar sind; das Entfernen der Invertierbarkeit führt zu nichtumkehrbaren Prozessen und homologischer Asymmetrie. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt nur für Kategorien, in denen alle Morphismen invertierbar sind; schließt allgemeine Kategorien mit nichtinvertierbaren Pfeilen sowie algebraische Strukturen mit einer einzelnen Identität ohne Objektabhängigkeit aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Semantische Spannung zwischen 'Gruppe' und 'Groupoid': Eine Gruppe ist ein einobjektiges Groupoid (globale Symmetrie), während ein Groupoid ein Netzwerk lokaler Gruppen und ihrer Wechselwirkungen kodiert (lokale Symmetrie). ## Synthese Synthese Ein Groupoid ist eine Kategorie mit universell invertierbaren Pfeilen; es erweitert das Gruppenprinzip, indem Identitäten und Inverse über eine Familie von Objekten verteilt werden und so ein kompaktes Vokabular für lokale Symmetrie und Äquivalenz bietet.