## [Kegelpunkt](/de/node/62282) Definition Ein Punkt in einem topologischen oder geometrischen Raum, dessen Umgebung homöomorph (oder im metrischen Fall isometrisch) zu einem Kegel über einem Basisraum ist; er ist eine lokalisierte konische Singularität, in der Krümmung oder Topologie am Scheitelpunkt konzentriert ist. ## Prinzip Prinzip Die lokale Struktur modellieren durch Produkt des Basisraums mit einer radialen Koordinate und Kollabieren der Basis bei Radius Null zu einer einzigen Spitze; der Kegelpunkt erfasst singuläres Verhalten, das in den Winkelrichtungen homogen ist. ## Demonstration Demonstration Die Spitze des metrischen Kegels über einem Kreis erzeugt einen 2D-Kegelpunkt mit Gesamtwinkel ≠ 2π; in der algebraischen Geometrie kann ein gewöhnlicher Doppelknoten topologisch ein Kegel über einer projektiven Kurve sein und eine Kegelsingularität am Scheitel erzeugen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jeden isolierten nicht-glatten Punkt als Kegelpunkt zu bezeichnen, ohne ein echtes konisches Umfeld zu prüfen; oder metrische Kegelkonstruktionen anzuwenden, wo das lokale Modell nur topologisch einem Kegel ähnelt. ## Konsequenz Konsequenz Die Erkennung eines Kegelpunkts erlaubt die Anwendung von Kegel-Kalkül, angepassten Koordinaten und die Analyse singulärer Krümmung oder Holonomie; sie beeinflusst Indextheoreme und spektrales Verhalten, das vom Kegelwinkel oder der Basistopologie abhängt. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenteil ist ein glatter Punkt, dessen Umgebungen euklidische Kugeln sind statt Kegel; die Umkehr entfernt den konzentrierten Winkelfehler und stellt die übliche glatte differentielle Struktur wieder her. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt, wenn eine Umgebung (topologisch oder metrisch) ein Kegel über einer wohldefinierten Basis ist; schließt Kuspensingularitäten, Verzweigungspunkte mit anderen lokalen Modellen und die Akkumulation von Kegelpunkten aus, die die isolierte konische Struktur zerstört. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen topologischen Kegelpunkten (homöomorphe Umgebungen) und metrischen Kegelpunkten (isometrische radiale Struktur); manche Singularitäten sind topologisch konisch, besitzen aber nicht die genaue radiale Metrik für analytische Kegelmethoden. ## Synthese Synthese Ein Kegelpunkt ist eine isolierte Spitze, deren lokale Umgebungen zu einem Kegel über einer Basis kollabieren, wodurch ein Winkel- oder topologischer Fehler in einem Punkt konzentriert wird und ein kanonisches lokales Modell für geometrische und analytische Studien entsteht.