##  [Homotopie-Erweiterungseigenschaft (HEP)](/de/node/62242) 

 Definition

Eine Eigenschaft einer Einschließung i:A→X (oder des Paares (X,A)), wonach jede auf A definierte Homotopie H_t zu einer Homotopie ˜H_t auf X erweitert werden kann, beginnend von einer Abbildung f:X→Y, die auf A mit der gegebenen Homotopie übereinstimmt; äquivalent ein Erkennungsmerkmal für Cofibrationen in vielen Kategorien.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Erweiterungen werden durch lokale Deformationsdaten kontrolliert: sitzt A als Cofibration (oder NDR-Paar) in X, so lassen sich Homotopien auf A nach X ausdehnen, weil man A 'aufdicken' und die Homotopie entlang eines Zylinders oder einer Deformationsretraktion hinausschieben kann.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Bei CW-Komplexen hat die Inklusion eines Unterkomplexes A↪X die HEP: eine Homotopie auf A lässt sich zellweise auf X ausdehnen, wobei man sich an die Zell-Attachments und die Tatsache hält, dass Zellen durch Cofibrationen angefügt werden, und induktiv über die Skelette arbeitet.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu glauben, jede Unterraumeinschließung habe die HEP, führt zu falschen Erweiterungen (z. B. bei pathologischen Einbettungen in schlechten punktbezogenen Topologien); HEP mit der Homotopie-Hebeeigenschaft (HLP) für Faserungen zu verwechseln, ist ein häufiger Fehler.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Hat ein Paar die HEP, so lassen sich Abbildungen und Homotopien erweitern, Cofibrationen erkennen, homotopie-kolimiten (homotopy pushouts) bilden und schrittweise obstruktions-theoretische Argumente zur Erweiterung von Strukturen anwenden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Duale ist die Homotopie-Hebe-Eigenschaft (HLP) bei Faserungen, bei der Homotopien entlang einer Abbildung gehoben werden, statt von einem Unterraum aus erweitert zu werden; oder schlicht Einschließungen, die Erweiterungen verhindern, sodass lokale Homotopien nicht global ausgedehnt werden können.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Betrifft Einschlüsse von Unterräumen und topologische Paare; setzt vernünftige Kategorien voraus (CW-Komplexe, kompakt-generierte Räume oder Räume mit gutem Verhalten der Cofibrationen) und schließt beliebige Abbildungen aus, die keine Einschlüsse sind oder Rahmen ohne geeignete Zylinder haben.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen HEP und HLP (Erweiterung versus Heben) sowie zwischen der intuitiven Vorstellung, dass Unterräume Homotopien erweitern, und Gegenbeispielen in der punktmengen-topologischen Pathologie; Cofibration-Annahmen sind hier entscheidend.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

HEP kennzeichnet Einschlüsse, die Homotopien, die auf einem Unterraum definiert sind, auf den gesamten Raum erweiterbar machen; praktisch charakterisiert sie Cofibrationen und bildet die Grundlage induktiver und obstruktionstheoretischer Konstruktionen in der Homotopietheorie.