## [Deformationsretraktion](/de/node/62233) Definition Eine Homotopie H: X × [0,1] → X, die einen topologischen Raum X stetig auf einen Unterraum A deformiert, derart dass H(x,0)=x, H(x,1) ∈ A für alle x∈X und H(a,t)=a für alle a∈A und alle t; eine solche Homotopie zeigt, dass A ein Deformationsretrakt von X ist und liefert eine starke Homotopieäquivalenz. ## Prinzip Prinzip Erzeuge eine Homotopie, die den Unterraum punktweise festhält und das Komplement hinein zusammenzieht, wodurch eine starke Form der Äquivalenz zwischen dem großen Raum und dem Unterraum realisiert wird. ## Demonstration Demonstration Beispielhaft retractoriert die Einheitskugel D^n durch Deformation auf ihren Mittelpunkt: H(x,t) = (1−t)x fixiert den Mittelpunkt und bewegt jeden anderen Punkt radial zum Mittelpunkt, womit eine Deformationsretraktion auf einen Punkt entsteht. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jede stetige ‚Kollaps‘-Aussage ohne die explizite Homotopie, die den Unterraum punktweise festhält oder die Randbedingungen erfüllt, als Deformationsretraktion zu bezeichnen, führt zu falschen Behauptungen über Homotopieäquivalenz. ## Konsequenz Konsequenz Ist A Deformationsretrakt von X, so ist die Inklusion A ↪ X eine Homotopieäquivalenz und induziert Isomorphismen auf allen Homotopie- und Homologiegruppen, was Klassifikation und Berechnung vereinfacht. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenteil ist eine Unterraumeinbettung ohne Homotopie, die den Unterraum punktweise fixiert und das umgebende X darauf zurückführt; eine solche Einbettung muss keine Isomorphismen auf Homotopiegruppen induzieren. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt in homotopietheoretischen Kontexten topologischer Räume, in denen stetige Homotopien existieren; ausgenommen sind schwächere Begriffe wie Homotopieäquivalenz ohne spezifizierte punktweise Homotopie und Räume ohne angemessene Topologie. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannungen bestehen zur allgemeineren Homotopieäquivalenz: Jede Deformationsretraktion ist eine Homotopieäquivalenz, aber nicht jede Homotopieäquivalenz kommt von einer Deformationsretraktion; die Begriffe sind verwandt, aber nicht identisch. ## Synthese Synthese Eine Deformationsretraktion ist eine explizite Homotopie, die einen Raum auf einen Unterraum zusammenzieht und diesen punktweise fixiert; sie liefert ein konkretes, starkes Zeugnis für Homotopieäquivalenz und erleichtert Berechnungen durch Ersetzung von X durch A.