##  [Lemma von Urysohn](/de/node/62206) 

 Definition

In einem normalen topologischen Raum können zwei disjunkte abgeschlossene Mengen durch eine stetige, reellwertige Funktion getrennt werden: Es existiert f : X → [0,1] stetig mit f = 0 auf der einen abgeschlossenen Menge und f = 1 auf der anderen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Normalität liefert genügend offene Umgebungen, um eine stetige Funktion zu konstruieren, die auf zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen vorgegebene konstante Werte interpoliert; diese Existenz ordnet Trennungseigenschaften durch stetige Abbildungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Im R mit der üblichen Topologie (normaler Raum) kann man für A = [−1,0] und B = [1,2] eine stückweise lineare Funktion f : R → [0,1] definieren, die auf A den Wert 0 und auf B den Wert 1 hat und linear auf [0,1] übergeht.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das Lemma in einem nicht-normalen Raum anwenden und erwarten, einen globalen stetigen Trenner zu erhalten; oder versuchen, nicht disjunkte abgeschlossene Mengen zu trennen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht die Konstruktion von stetigen Trennfunktionen, was Partitionen der Eins, Schritte zu Extensionssätzen und Einbettungen in Würfel reeller Funktionen erlaubt.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Umgekehrt: Wenn jede Paar disjunkter abgeschlossener Mengen durch eine stetige [0,1]-wertige Funktion getrennt werden kann, dann erfüllt der Raum die für Normalität geforderten Trennungseigenschaften (Unter T1-Hypothesen bestehen Äquivalenzen).

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Setzt Normalität des Raums und disjunkte abgeschlossene Mengen voraus; bezieht sich auf Abbildungen in [0,1] (oder R) und gilt nicht für nichtabgeschlossene oder sich schneidende Mengen oder für Räume ohne Normalität.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Nahe verwandte Aussagen sind der Tietze-Erweiterungssatz: Urysohn liefert eine trennende Funktion für zwei abgeschlossene Mengen, während Tietze eine gegebene Funktion auf einem abgeschlossenen Teil auf ganz X fortsetzt; die Rollen dürfen nicht verwechselt werden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Urysohns Lemma besagt, dass Normalität die Konstruktion stetiger [0,1]-wertiger Funktionen erlaubt, die auf zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen vorgegebene konstante Werte annehmen, und bildet ein fundamentales Instrument zur funktionalen Trennung und Konstruktion.