##  [Erstes Abzählbarkeitsaxiom](/de/node/62198) 

 Definition

Eine topologische Eigenschaft: Ein Raum ist erstes abzählbarkeitsaxiomartig (erste Abzählbarkeit), wenn jeder Punkt eine abzählbare lokale Basis von Umgebungen besitzt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das lokale topologische Verhalten lässt sich an jedem Punkt durch eine abzählbare Familie von Umgebungen erfassen, sodass sequentielle Methoden häufig zur Untersuchung von Stetigkeit und Abschluss ausreichen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Jeder metrische Raum ist erstes abzählbar: Für x wählt man die abzählbare Familie der offenen Kugeln B(x,1/n) für n∈ℕ; diese bilden eine abzählbare lokale Basis in x.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, Folgen würden den Abschluss in einem beliebigen topologischen Raum bestimmen, ohne erste Abzählbarkeit anzunehmen, ist ein Fehlgebrauch; außerhalb erster Abzählbarkeit sind Netze oder Filter erforderlich.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ist ein Raum erstes abzählbar, lassen sich viele lokale Eigenschaften folgendermaßen charakterisieren: Stetigkeit in einem Punkt und Zugehörigkeit zum Abschluss lassen sich mit Folgen prüfen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein Raum ohne erste Abzählbarkeit besitzt mindestens einen Punkt ohne abzählbare Umgebungsbasis; sequentielle Methoden können unzureichend sein, und man benötigt Netze oder Filter.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Dies ist eine rein topologische, lokale kardinale Bedingung. Sie impliziert nicht Zweite Abzählbarkeit, Separabilität oder Kompaktheit und kann gelten, während eine globale Basis unzählbar bleibt.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Erste Abzählbarkeit wird oft mit Zweiter Abzählbarkeit (globale abzählbare Basis) oder Separabilität (existenz einer abzählbaren dichten Menge) verwechselt; der Unterschied liegt in lokal vs. global und Basis vs. dichtem Teil.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Erste Abzählbarkeit bedeutet, dass jeder Punkt eine abzählbare Menge von Umgebungen besitzt, die seine lokale Topologie erzeugt; es ist eine lokale, folgenfreundliche Bedingung, die punktweise Argumente vereinfacht.