## [Totale Getrenntheit](/de/node/62188) Definition Ein topologischer Raum ist total getrennt, wenn alle seine zusammenhängenden Komponenten Einslemente sind; das heißt, der Raum enthält keine nichttrivialen zusammenhängenden Teilmengen mit mehr als einem Punkt. ## Prinzip Prinzip Die ordnende Idee ist Trennung auf beliebig kleinen Skalen: Verschiedene Punkte können nicht durch eine nichttriviale zusammenhängende Teilmenge verbunden werden, sodass Zusammenhängigkeit auf Einslemente zusammenbricht und viele clopen Trennungen existieren. ## Demonstration Demonstration Die Cantor-Menge (mit der Teilraumtopologie der reellen Geraden) ist total getrennt: sie enthält kein Intervall und jede zusammenhängende Teilmenge ist ein einzelner Punkt, ist aber dennoch perfekt und überabzählbar. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, jeder getrennte (disconnected) Raum sei total getrennt ist falsch: Ein Raum mit genau zwei zusammenhängenden Komponenten ist getrennt, aber nicht total getrennt, sofern nicht jede Komponente ein Einslement ist. ## Konsequenz Konsequenz In total getrennten Räumen sind stetige Abbildungen in nichttriviale zusammenhängende Räume stark eingeschränkt (Bilder zusammenhängender Komponenten sind Einslemente); algebraische Konstruktionen und Zerlegungen nutzen häufig das Vorkommen zahlreicher clopen Teilmengen. ## Umkehrung Umkehrung Ein zusammenhängender Raum (beispielsweise ein reelles Intervall) steht im Gegensatz dazu: er besitzt nichttriviale zusammenhängende Teilmengen und lässt keine Zerlegung in disjunkte nichtleere clopen Teile zu. ## Abgrenzung Abgrenzung Total getrennt sein ist eine rein topologische Eigenschaft bezüglich der gegebenen Topologie; sie impliziert nicht zwingend Null-Dimensionalität (Existenz einer Basis aus clopen Mengen) und schließt perfekte oder überabzählbare Beispiele nicht aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Die semantische Spannung besteht gegenüber Null-Dimensionalität (Basis aus clopen Mengen) und gegenüber total separiert (stärker: beliebige zwei Punkte lassen sich durch clopen Mengen trennen); diese verwandten Begriffe werden oft verwechselt, unterscheiden sich aber in Strenge. ## Synthese Synthese Total getrenntheit bedeutet, dass Zusammenhängigkeit auf Punkte zusammenbricht: der Raum erlaubt viele Trennungen, so dass zusammenhängende Komponenten keine innere Struktur über Einpunktmengen hinaus besitzen, während das Globale dennoch komplex sein kann.