##  [Lokal Zusammenhang](/de/node/62186) 

 Definition

Topologische Eigenschaft, die verlangt, dass jeder Punkt eine Umgebungsbasis besitzt, die ausschließlich aus zusammenhängenden offenen Mengen besteht; äquivalent: jeder Punkt hat beliebig kleine zusammenhängende Umgebungen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Lokalzusammenhang steuert die lokale Topologie: Umgebungen können verbunden gewählt werden, was zur Folge hat, dass Komponenten offener Mengen offen sind und die Beziehung zwischen Komponenten und Wegkomponenten vereinfacht; Lokalzusammenhang ist eine lokale Regularitätsannahme, die in Zerlegungssätzen genutzt wird.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: Der euklidische Raum R^n ist lokal zusammenhängend, da kleine offene Kugeln um jeden Punkt zusammenhängend sind. Gegenbeispiel: der Topologist's Comb besitzt Ansammlungsstellen, bei denen es keine beliebig kleinen zusammenhängenden Umgebungen gibt, daher fehlt der lokale Zusammenhang.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, ein global zusammenhängender Raum sei automatisch lokal zusammenhängend, oder lokal zusammenhängend impliziere Wegzusammenhang; Lokalzusammenhang mit der Offenheit von Komponenten zu verwechseln, ohne die Umgebungsbasisbedingung zu prüfen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

In einem lokal zusammenhängenden Raum sind die Komponenten offener Mengen offen, und in lokal wegzusammenhängenden Räumen stimmen Wegkomponenten und Komponenten überein; Lokalzusammenhang erleichtert Induktionsargumente und Klebeprozesse, die auf zusammenhängenden Umgebungen beruhen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Nicht-lokal zusammenhängende Räume haben Punkte, bei denen jede hinreichend kleine Umgebung zerlegt ist; solche Räume können global zusammenhängend sein, aber auf feiner Skala stark zerrissen erscheinen (z. B. gewisse Fraktale oder Kamm-Beispiele).

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Eigenschaft topologischer Räume, die sich auf Umgebungsbasen bezieht; sie folgt nicht aus einfachem Zusammenhang und unterscheidet sich vom lokalen Wegzusammenhang (stärker). Sie bezieht sich auf offene Basen und behauptet nichts über globale Kompaktheit oder Endlichkeit.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht im Spannungsverhältnis zum lokalen Wegzusammenhang: Dieser verlangt wegzusammenhängende Umgebungen und ist stärker; Lokalzusammenhang liegt zwischen globalem Zusammenhang und stärkeren lokalen Pfadeigenschaften, was bei Theoremenwahl zu Zielkonflikten führt.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Lokal Zusammenhang verlangt für jeden Punkt eine Basis aus zusammenhängenden offenen Umgebungen; dies ist eine lokale Regularitätsbedingung, die Komponenten offener Mengen offen macht und den Übergang von lokalen Informationen zu globalen topologischen Aussagen erleichtert.