## [Kegel Einer Abbildung](/de/node/62175) Definition Der Abbildungskegel Cf zu einer Abbildung f: X→Y ist der Quotient des Abbildungszylinders Mf, der durch das Zusammenziehen von X×{0} zu einem Punkt entsteht; kurz Cf = Mf/(X×{0}∼*). Der Abbildungskegel modelliert die Homotopie-Kofaser von f und misst das Versagen von f, auf Homotopieebene surjektiv zu sein. ## Prinzip Prinzip Man kollabiert die untere Schicht des Abbildungszylinders, um einen Kegel über X zu erzeugen, der an Y via f angeklebt ist; der so erhaltene Raum trägt den Kofaser-Typus und liefert lange exakte Folgen in der Homotopie, die X, Y und Cf verknüpfen. ## Demonstration Demonstration Für die Inklusion i: A→X ist der Abbildungskegel Ci homöomorph zu X, wobei A zu einem Kegel kollabiert wurde, und die reduzierte Homologie von Ci berechnet die relative Homologie H_*(X,A). Für eine nullhomotope Abbildung f ist Cf homotopieäquivalent zu Y ∨ ΣX. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Das Bilden des Abbildungskegels ohne Kontrolle der Basispunkte oder durch Kollabieren einer falschen Teilmenge kann die gewünschte Kofaserinformation zerstören; die Verwechslung von Abbildungskegel und Abbildungszylinder oder naiven Quotienten führt zu falschen exakten Folgen. ## Konsequenz Konsequenz Der Abbildungskegel liefert die Homotopie-Kofaserfolge X → Y → Cf → ΣX und erzeugt damit lange exakte Folgen in (Ko)homologie und Homotopie; er ist grundlegend zum Definieren von Kofasern, Anhängen von Zellen und Berechnen relativer Invarianten. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehr entspricht dem Homotopie-Faserkonstrukt oder dem Desuspensionsvorgang in geeigneten Kontexten; die Kegel-Konstruktion ist nicht generell strikt invertierbar, und aus Cf die Abbildung f wiederzugewinnen, verlangt Zusatzstruktur oder homotopie-theoretische Informationen. ## Abgrenzung Abgrenzung Korrekte Verwendung von Abbildungskegeln setzt voraus, mit punktierten Abbildungen oder in Kategorien zu arbeiten, in denen homotopische Quotienten gut funktionieren (CW‑Komplexe, Modellkategorien); naive punktmengen-topologische Quotienten in pathologischen Kategorien können Homotopie-Kofasern nicht darstellen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der Abbildungskegel steht im begrifflichen Spannungsfeld zur Abbildungsfaser und zu naiven Quotienten: Der Kegel kodiert Kofaserinformation (homotopie-analoger Kokernel), während die Faser Kerninformation enthält; beide verbinden sich über Suspension und lange exakte Folgen. ## Synthese Synthese Der Abbildungskegel von f ist der Quotient des Abbildungszylinders, in dem X×{0} zu einem Punkt kollabiert wird; er erzeugt einen Raum, der die Homotopie-Kofaser von f repräsentiert und in die fundamentale Kofaserfolge X→Y→Cf→ΣX einsortiert ist, zentral für relative Homotopie und homologischen Rechnungen.