## [Abbildungszylinder](/de/node/62173) Definition Zu einer stetigen Abbildung f: X→Y ist der Abbildungszylinder Mf der Raum, der durch X×[0,1] ⊔ Y entsteht, wobei jedes (x,1)∈X×{1} mit f(x)∈Y identifiziert wird; kurz Mf = X×[0,1] ⊔_f Y. Er modelliert eine Homotopie zwischen f und einer Cofibrationseinschließung von X in Mf. ## Prinzip Prinzip Ein Zylinder über X wird entlang f an Y angefügt, so dass X als Teilraum (x↦(x,0)) eingebettet ist und f als X → Mf → Y faktorisiert wird, wobei die zweite Abbildung unter milden Voraussetzungen eine Deformationsretraktion auf Y ermöglicht; Abbildungszylinder liefern Cofibration/Äquivalenz-Faktorisierungen von Abbildungen. ## Demonstration Demonstration Für die Inklusion i: A→X ist der Abbildungszylinder Mi homöomorph zur Vereinigung von X mit A×[0,1], aufgeklebt entlang A×{1}, wodurch A eine Zylinderhülle erhält; falls f eine Homotopieäquivalenz ist, retractiert Mf auf Y. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Verwendung des Abbildungszylinders ohne Prüfung topologischer Voraussetzungen (z. B. nicht-Hausdorffräume oder schlecht verhaltene Abbildungen) oder die Verwechslung von Mf mit dem Abbildungskegel (falsche Schicht kollabieren) kann über Cofibrationseigenschaften und Homotopie-Kofaserfolgen irreführen. ## Konsequenz Konsequenz Der Abbildungszylinder liefert eine kanonische Cofibration X→Mf und eine Projektion Mf→Y, die zu f homotop ist; er ist ein grundlegendes Werkzeug zum Konstruieren von Homotopien, Beweisen von Faktorisierungssätzen und Bauen relativer Zellanhängungen. ## Umkehrung Umkehrung Durch Kollabieren von X×{0} in Mf erhält man den Abbildungskegel, der Informationen zur Homotopie-Kofaser enthält; das Rückgängigmachen der Zylinderkonstruktion durch Entfernen der Zylinderhülle stellt die ursprüngliche Abbildung nur bis auf Homotopie wieder her, in der Regel nicht bis auf Homöomorphie. ## Abgrenzung Abgrenzung Präzise homotopische Aussagen erfordern das Arbeiten in geeigneten Kategorien (kompakt‑generierte Hausdorffräume, CW‑Komplexe) oder das Hinzufügen von Basispunktdaten für punktierte Versionen; Mf hängt von der konkreten Abbildung f ab und ist nicht allein funktoriell in Y. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der Abbildungszylinder wird oft mit dem Produktzylinder oder dem Abbildungskegel verwechselt: Der Zylinder von f hängt X×[0,1] entlang {1} an Y, während der Abbildungskegel zusätzlich X×{0} kollabiert; diese Differenz entscheidet, ob man eine Cofibration oder eine Kofaser konstruiert. ## Synthese Synthese Der Abbildungszylinder von f: X→Y ist X×[0,1], das mittels f an Y angeklebt wird; er faktorisiert f in eine Cofibration gefolgt von einer zu f homotopen Abbildung und dient als konkretes Instrument zur Erzeugung von Hüllen, Homotopien und Cofibration-Faktorisierungen.