## [Topologischer Kegel](/de/node/62171) Definition Der Kegel CX über einem topologischen Raum X ist der Quotient von X×[0,1], der entsteht, indem man X×{0} zu einem einzigen Punkt, der Spitze, zusammenzieht; X×{1} bildet die Basis und der Kegel leitet X radial zur Spitze. ## Prinzip Prinzip Das Kollabieren eines Endes eines Zylinders über X zu einem Punkt erzeugt eine kontraktile Spitze, die an X hängt; die Kegel-Konstruktion macht jeden Raum bezüglich der Spitze kontraktibel, während die Basis erhalten bleibt. ## Demonstration Demonstration Für jeden Raum X enthält CX eine Kopie von X in Höhe 1 und eine einzelne Spitze in Höhe 0; für X=S^n ist CS^n homöomorph zur (n+1)-Kugel D^{n+1}, die kontraktibel ist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Verwechslung von Kegel und Suspension durch Kollabieren beider Enden oder das Nichtunterscheiden von reduzierten und unreduzierten Kegeln führt zu falschen homotopischen Schlussfolgerungen; das Kollabieren einer echten Teilmenge von X×{0} statt der ganzen Schicht verändert die Topologie stark. ## Konsequenz Konsequenz Die Kegel-Konstruktion liefert ein kontraktibles Objekt, sobald X nicht leer ist; Kegel werden verwendet, um Homotopien zu bauen, Abbildungskegel zu konstruieren und relative Zellanhängungen in CW‑Konstruktionen vorzunehmen. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehr ist das Zurückgewinnen der Basis oder Entfernen der Spitze; obwohl man einen Kegel oft auf seine Basis retractieren kann, ist die Spitze kontraktibel, sodass die Umkehr in der Regel nicht das ursprüngliche Raum bis auf Homöomorphie wiederherstellt. ## Abgrenzung Abgrenzung Aussagen, die punktierte Eigenschaften oder exakte Homotopiefolgen benötigen, erfordern Vorsicht: Kegel sind unabhängig von einem Basispunkt kontraktibel, aber Begriffe wie Abbildungskegel und reduzierter Kegel verlangen punktierte Abbildungen oder sorgfältige Quotienten; pathologische Topologien können naive Intuitionen zerstören. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Kegel und Suspension sind nahe verwandte Begriffe: Ein Kegel kollabiert nur ein Ende und besitzt eine kontraktile Spitze, während die Suspension beide Enden kollabiert und ein anderes Homotopie-Verhalten liefert. ## Synthese Synthese Der Kegel über X ist der Quotient von X×[0,1], der X×{0} zur Spitze kollabiert, wodurch ein Raum mit X als Basis und einer kontraktilen Spitze entsteht; Kegel sind grundlegende Bausteine für Homotopien und Kofaserkonstruktionen.