##  [Innerer Operator](/de/node/62152) 

 Definition

Eine Abbildung int: P(X) → P(X) auf der Potenzmenge eines topologischen Raums X, die jeder Teilmenge ihr größtes offenes Teilset zuordnet; sie erfüllt Kontraktivität (int(A) ⊆ A), Monotonie (A ⊆ B ⇒ int(A) ⊆ int(B)) und Idempotenz (int(int(A)) = int(A)).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ordnet Teilmengen nach ihrem größten offenen Anteil; das Inneres ist der topologische Dual zum Abschluss durch int(A) = X \ cl(X \ A) und seine Fixpunkte sind genau die offenen Mengen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In einem metrischen Raum ist int(A) die Vereinigung aller offenen Kugeln, die in A enthalten sind; für A = [0,1) in R mit der Standardtopologie gilt int(A) = (0,1).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Es wäre falsch, das Inneres einfach so als komplementär- oder beliebige Vereinigungs-erhaltend zu behandeln; etwa ist int(X \ A) nicht allgemein das Komplement von cl(A) ohne die Dualitätsrelation zu verwenden.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtig angewendet liefert int die Struktur eines Verbands der offenen Mengen (Fixpunkte von int) und vereinfacht zahlreiche topologische Argumente, etwa Kriterien für Offenheit und Lokalisierungseigenschaften.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehr ist der Abschlussoperator cl; Abschluss ist extensiv, monoton und idempotent, und cl und int stehen durch Mengenergänzung in De-Morgan-Dualität.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt nur für Teilmengen in einer gegebenen Topologie; ohne Topologie oder eine analoge Verbandsstruktur auf P(X) ist der Begriff nicht sinnvoll.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen dem Operatorbegriff des Inneren und der punktweisen Aussage, dass ein Punkt innerlich zu einer Menge ist; der Operator betont algebraische Axiome, die punktweise Sicht lokale Nachbarschaften.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der innere Operator ist die kanonische idempotente, monotone Kontraktion auf P(X), die jeder Menge ihren maximalen offenen Anteil zuordnet; er ist der duale Partner des Abschlusses und zentral für die Algebra der offenen Mengen.