##  [Subbasis](/de/node/62141) 

 Definition

Eine Sammlung S von Teilmengen einer Menge X, deren endliche Schnitte eine Basis für eine Topologie auf X bilden; die von S erzeugte Topologie besteht aus beliebigen Vereinigungen endlicher Schnitte von Elementen von S.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Erzeuge eine Topologie, indem man S zunächst unter endlichen Schnitten abschließt, um eine Basis zu erhalten, und dann beliebige Vereinigungen bildet; S dient als oft minimales erzeugendes System, das Beschreibungen und Beweise (z. B. Alexanders Subbasis‑Satz) vereinfacht.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: Auf R ist die Sammlung aller Halbstrecken der Form (−∞,a) und (b,∞) eine Subbasis; endliche Schnitte erzeugen offene Intervalle (a,b), die eine Basis bilden, und Vereinigungen dieser Intervalle ergeben die übliche Topologie.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, endliche Vereinigungen von Subbasis‑Elementen genügen zur Bildung der Topologie, oder das Nichtdurchführen der Schnitte vor den Vereinigungen; Subbasis‑Elemente mit Basiselementen zu verwechseln führt zu falschen Berechnungen der erzeugten offenen Mengen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Subbasen bieten flexible Erzeuger für Topologien und spielen eine zentrale Rolle in Kompaktheitskriterien (Alexanders Subbasis‑Satz), wodurch einige Existenz‑ und Kompaktheitsargumente handhabbarer werden als die Arbeit mit Basen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Aus einer Basis kann man sie als aus einer Subbasis hervorgehend ansehen, indem man Basiselemente als Vereinigungen endlicher Schnitte zerlegt; umgekehrt macht das Überführen einer Subbasis in ihre erzeugte Basis den notwendigen endlichen Schnittschritt explizit.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Eine Subbasis muss nicht a priori aus offenen Mengen bestehen; sie ist ein rein erzeugendes Hilfsmittel — erst nach Bildung der erzeugten Topologie werden die Elemente offen. Subbasen unterscheiden sich von Umgebungsbasen und von beliebigen Erzeugern, die das Verfahren endlicher Schnitt→Vereinigung nicht respektieren.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zur 'Basis': eine Subbasis ist schwächer und primitiver — jede Basis ist eine Subbasis, aber nicht umgekehrt; hinsichtlich 'erzeugender Menge' besteht auch Spannung bezüglich Minimalität und der Reihenfolge der Operationen Schnitt versus Vereinigung.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Subbasis ist eine erzeugende Sammlung, deren endliche Schnitte eine Basis liefern und deren beliebige Vereinigungen die Topologie ergeben; sie ist ein kompaktes, oft minimales Beschreibungsmittel einer Topologie und ein praktisches Werkzeug in Konstruktionen und Kompaktheitsargumenten.