##  [Artins Reziprozitätsgesetz](/de/node/62040) 

 Definition

Zentrales Resultat der globalen Klassenkörpertheorie: Es konstruiert eine kanonische Reziprozitätsabbildung von der Idealklassen- bzw. Idelengrupp einer globalen Körper zu der abelisierten Galoisgruppe seiner maximalen abelschen Erweiterung und verbindet so stetige Charaktere der Ideleklasse mit abelschen Erweiterungen und verallgemeinert die quadratische Reziprozität.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Abelsche Erweiterungen eines globalen Körpers entsprechen offenen Teilgruppen endlichen Index in der Idelenklassengruppe; die Reziprozitätsabbildung identifiziert Frobenius-Elemente mit Idelenklassen und induziert die in der Klassenkörpertheorie vorhergesagten Isomorphismen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In Zahlkörpern treten zyklotomische und quadratische Erweiterungen als Bilder expliziter Charaktere auf Idelenklassen auf; die klassische quadratische Reziprozität erscheint als Einschränkung der Artin-Reziprozität auf quadratische Charaktere und Ray-Klassengruppen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu erwarten, dass es eine direkte, explizite Reziprozitätsbeschreibung für nicht-abelsche Erweiterungen gebe, oder die Reziprozitätsabbildung in allen Fällen als konkret berechenbar zu behandeln; die Vernachlässigung von Abelsquotienten, Leitböden und Verzweigungsdaten führt zu Fehlanwendungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Lieferte die vollständige Klassifikation der endlichen abelschen Erweiterungen globaler Körper, ergibt Leiter- und Reziprozitätsgesetze für Zerlegung von Primstellen und vereinigt viele Reziprozitätsphänomene in der Zahlentheorie.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wird die abelsche Bedingung fallengelassen, bricht die bijektive Korrespondenz zusammen; nicht-abelsche Verallgemeinerungen erfordern wesentlich andere (oft noch vermutete) Rahmen wie das Langlands-Programm.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für globale Körper (Zahlkörper und Funktionenkörper von Kurven über endlichen Körpern) und deren abelsche Erweiterungen; die Formulierung erfordert Sorgfalt bezüglich Verzweigung, Leitern (Conductors) und topologischer Abschlüsse und trifft nicht auf nicht-abelsche Galoiserweiterungen ohne zusätzliche Struktur zu.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird häufig mit lokaler Reziprozität (lokale Artin-Abbildung) oder elementaren Reziprozitätsgesetzen verwechselt; das Unterscheidungsmerkmal ist die globale Idelenklassen-Formulierung, die Charaktere mit abelschen Erweiterungen verknüpft, nicht nur lokale Restsymbol-Berechnungen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Artin-Reziprozität verbindet lokal- und global-Theorie durch eine kanonische Abbildung von Idelen in die abelische Galoisgruppe: Charaktere der Idelenklassengruppe parametrisieren abelsche Erweiterungen, sodass klassische Reziprozitätsgesetze als Spezialfälle erscheinen und die Rolle der idelischen Topologie und Verzweigung klar hervorgehoben wird.